няння, якому повинна задовольняти функція H (?):
. (2.2.5.12)
Статечної ряд функції H (x) має вигляд:
. (2.2.5.13)
В цьому випадку
(2.2.5.14)
Підстановка в рівняння (2.2.5.14) для хвильової функції дає:
. (2.2.5.15)
В останній рівності слід згрупувати доданки з однаковими ступенями?. Отриманий ряд звертається в нуль тільки у випадку рівності нулю його коефіцієнтів:
(2.2.5.16)
(2.2.5.17)
Коефіцієнти cn пов'язані рекурентним співвідношенням
(2.2.5.18)
З якого випливає, що всі парні коефіцієнти виражаються через c0, а непарні через c1, що дозволяє записати H (x) у вигляді:
(2.2.5.19)
Ставлення коефіцієнтів наступного члена і попереднього в обох рядах при великих значеннях? дорівнює
, (2.2.5.20)
що характерно для розкладання в ряд експоненти
(2.2.5.21)
і хвильова функція при x? +? необмежено зростає:
(2.2.5.22)
Таким чином, при великих значеннях n yn (x) ~ exp (? 2/2), що суперечить вимозі кінцівки хвильової функції. Цій умові можна задовольнити, якщо вибрати? =2n + 1. У цьому випадку один з лав обривається, перетворюючись на поліном, а від іншого можна позбутися, прирівнявши нулю коефіцієнт, на який він множиться. У цьому випадку при n парному ми отримуємо поліноми по парних ступенями? (При цьому С1=0), при n непарному - поліноми по непарних ступенях? (С0=0):
(2.2.5.23)
У цьому випадку H (?) для кожного значення n являють собою поліноми ступеня n, що позначаються Hn (?), для обчислення яких можна користуватися виробляє функцією:
. (2.2.5.24)
Hn (?) називаються поліномами Ерміта. Таким чином:
(2.2.5.25)
(при великих значеннях? експонентний множник гарантує кінцівку хвильової функції для будь-якої постійної n, в чому легко переконатися за допомогою правила Лопіталя:
. (2.2.5.26)
У тому, що Hn (?) є рішенням рівняння можна переконатися безпосередній підстановкою в нього отриманої формули. Таким чином, рішення рівняння має вигляд:
. (2.2.5.27)
Повернемося до змінної x:
, (2.2.5.28)
де згідно з формулою? =(M? / Ћ)?. Довільний постійний множник Nn визначається з умови нормування:
(2.2.5.29)
Нижче показано, що. Таким чином, хвильова функція осцилятора дорівнює
(2.2.5.30)
Оскільки фізичний зміст має тільки квадрат модуля хвильової функції, що дає щільність ймовірності виявлення мікрочастинки в заданій точці, то хвильова функція завжди визначена з точністю до постійного множника рівного по модулю одиниці:
Повернемося в інтегралі до змінної
x (a=(mw / ћ) -?):
. (2.2.5.31)
Замінимо один з поліномів його вираженням і зробимо інтегрування n раз по частинах:
(2.2.5.32)
У підсумку отримуємо і нормуючий множник
. (2.2.5.33)
2.2.6 шредінгеровской метод факторизації
Інший метод був запропонований Шредингером. Вводячи позначення yl (x...
