и приведення системи (3.22) до виду (3.23). Розглянемо самий простий. Уявімо систему (3.22) у розгорнутому вигляді:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1 n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2 n x n = b 2
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + ... + a 3 n x n = b 3 (3.24)
В
a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + ... + a nn x n = b n
З першого рівняння системи (3.24) виразимо невідому x 1 :
x 1 = A ( b 1 - a 12 x 2 - a 13 x 3 - ... - a 1 n x n ),
з другого рівняння - невідому x 2 :
В
x 2 = A ( b 2 - a 21 x 1 - a 23 x 3 - ... - a 2 n x n ),
і т. д. У результаті отримаємо систему:
x 1 = b 12 x 2 + B 13 x 3 + ... + b 1 , n - 1 x n- 1 + B 1 n x n + c 1
x 2 = b 21 x 1 + b 23 x 3 + ... + B 2 , n- 1 x n- 1 + b 2 n x n + c 2
x 3 = b 31 x 1 + b 32 x 2 + ... + B 3 , n- 1 x n- 1 + b 3 n x n + c 3 (3.25)
.
x n = b n 1 x 1 + b n 2 x 2 + b < sub> n 3 x 3 + b n, n- 1 x n- 1 + c n
Матрична запис системи (3.25) має вигляд (3.23). На головній діагоналі матриці B знаходяться нульові елементи, а інші елементи обчислюються за формулами:
b ij =, c i =, i, j = 1,2, ... n, i j. (3.26)
Очевидно, що діагональні елементи матриці A повинні бути відмінні від нуля.
Виберемо довільно початкове наближення Зазвичай в якості першого наближення беруть x = c i або x = 0 . Підставимо початкове наближення в праву частину (3.25). Обчислюючи ліві частини, отримаємо значення x, x, ..., x. Продовжуючи цей процес далі, одержимо послідовність наближень, причому ( k + 1)-е наближення будується наступним чином:
x = b 12 x + b 13 x + ... + b 1 , n- 1 x + b 1 n x + c 1
x = b 21 x 1 + b 23 x + ... + b 2 , n- 1 x + b 2 n x + c 2
x = b 31 x + b 32 x + ... + b 3 , n- 1 x + b 3 n x + c 3 ... (3.27)
x = b n 1 x + b n 2 x + b n 3 x + b
