+ 2aа + b, q = a 3 + АA 2 + ba + c. p> Тоді рівняння прийме вигляд х 3 + Px + q = 0. p> У нашій символіці це рівняння відповідає рівнянням (1), (2), які вирішував Тарталья.
Кардано дізнався спосіб вирішення рівнянь третього ступеня, запропонований Тартальи, опублікував його. Формула ж стала носити назву В«формули КарданоВ».
Виведемо тепер її. p> Розглянемо рівняння х 3 + px + q = 0. Введемо нові невідомі x = u + v і підставимо їх у вихідне рівняння; отримаємо u 3 + v 3 + (3uv + p) (u + v) + q = 0.
Прирівняємо 3uv + p до нуля: 3uv + p = 0.
Рівняння прийме вигляд u 3 + v 3 + q = 0. Тоді uv = -, u 3 v 3 = -, u 3 + v 3 =-q.
Вирази u 3 і v 3 можна прийняти за коріння квадратного рівняння z 2 + qz - = 0.
Вирішуючи його, отримаємо z 1 = - +, z 2 = -.
Таким чином, x = U + v = +, x = +. p> Це і є формула Кардано. Не зайве помітити, що в такому вигляді Кардано її не шукав: він формулював рішення рівнянь (1) і (2) і розглядав зв'язок між рівняннями (2) і (3).
У разі, коли + <0, під квадратним коренем виходить негативне число і корінь дає уявність. Цей випадок отримав назву неприводимого, так як рішення рівняння третього ступеня не наводиться до рішенням квадратного рівняння. Як вже говорилося, з ним не впоралися ні Тарталья, ні Кардано. Його за допомогою тригонометрії розібрав Виет. p> Щоб отримати уявлення про символіці Кардано, наведемо приклад запису кореня кубічного рівняння x 3 + 6x = 20. ВиразВ записувалося так R x . U.cu.R x .108 10 ВЅ R x . U.cu.R x .108 10.
Тут R x - знак кореня (Radix), R x . u.cu означає корінь кубічний з всього виразу до вертикальної риси або після неї, і - скорочення слів plus і minus.
Кардано показав, що легко можна вирішити рівняння x 4 ax = bx 2 +. Він привів його до виду x 4 = b (x) 2 , а потім витяганням кореня отримав квадратне рівняння. Аналогічно він розглядав і деякі інші види рівнянь.
Однак рівняння x 4 + 6x 2 + 36 = 60x, запропоноване да Коі Кардано не зміг вирішити. p> Відкрив метод розв'язання рівнянь четвертого ступеня 23 - річний учень Кардано - Луїджі Феррарі . p> Після того, як були досліджені рівняння третього ступеня, завдання про рівняння четвертого ступеня стала більш легкою. Феррарі розглядав рівняння, що не містить члена з x 3 , тобто рівняння виду x 4 + ax 2 + bx + c = 0.
Він перетворював його так, щоб у лівій частині був повний квадрат, а в правій - вираз не вище другого ступеня щодо x. p> Виділенням повного квадрата виходило = x 4 ...
