3 - частки, які мають скласти латунь, бронза і мельхіор в передбачуваному сплаві. Баланс по кожному з чотирьох металів дається рівняннями
Медь0,6x1+0,8x2+0,8x3=0,7Цинк0,4x1=0,1Олово0,2x2=0,1Никель0,2x3=0,1
чи інакше,
6x1 +8 x2 +8 x3=74x1=12x2=12x3=1
Ясно, що вийшла, систем несовместна, і тому відповідь на перше питання задачі негативний. Результат можна виразити й інакше, якщо розглянути вектори-стовпці а 1=(6, 4, 0, 0), а 2=(8, 0, 2, 0), а 3=(8, 0, 0, 2), b=(7, 1, 1, 1), складені з коефіцієнтів при невідомих і вільних членів. Несумісні системи означає, що вектор b не можна записати у вигляді лінійної комбінації векторів трьох інших векторів а 1, а 2, а 3. Або (що те ж саме) вектор b не міститься в лінійній оболонці векторів а 1, а 2, а 3:
L=<< / p>
Водночас вектори з підпростору L з точністю до пропорційності відповідають тим сплавам, які можуть бути отримані при змішуванні в тій чи іншій пропорції латуні, бронзи і мельхіору. Будемо розглядати наші вектори як елементи чотиривимірного координатного евклидова простору зі скалярним твором, визначеним за формулою з Прикладу 2 § 3 Глави 1. Тепер друге питання можна уточнити так: у підпросторі L знайти вектор, найближчий до вектора b, іншими словами ортогональну проекцію вектора b на підпростір L - вектор:
x0=(*)
Відповідний цьому вектору сплав і будемо вважати найкращим наближенням до необхідному в задачі. Для відшукання ортогональної проекції зауважимо, що для всіх j=1,2,3 (b, aj)=(x0 + (b-x0), aj)=(x0, aj) + (b-x0, aj)=(x0, aj) так, як b-x0 ортогонален будь-якому вектору з L. Підставляючи в отримані рівності (b, aj)=(x0, aj), вираз вектора x0 як лінійного розкладання по векторах а1, а2, а3 (вираз (*)), приходимо до системи лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів x1, x2, x3, вирішуючи яку знаходимо x1? 0,22, x2=x3? 0,39. Вектор x0=(7,56; 0,88; 0,78; 0; 78). Відповідний йому сплав, яким може задовольнитися плавильщик, містить 75,6% міді, 8,8% цинку і по 7,8% олова і нікелю.
Висновок
Дана робота присвячена таким ключовим поняттям лінійної алгебри як вектори, простору, гіперплощини, гіперповерхні, евклидово простір, ортогональность та інші. Дані поняття введені в лінійну алгебру з аналітичної геометрії. У той же час об'єкти, до яких дані поняття застосовуються зовсім не схожі на свої геометричні прототипи. Так в § 2 Глави 1 зазначалося, що роль векторів (елементів лінійного простору) можуть грати такі об'єкти, як многочлени, матриці, функції і т.д.
Само векторне (або лінійне) простір визначається як безліч об'єктів будь-якої природи, для елементів яких будь-яким способом (причому, байдуже яким) визначені операція додавання елементів і операція множення елемента на скаляр. Основна зв'язок з аналітичної геометрією полягає в тому, що зазначені операції зобов'язані володіти тими ж властивостями, що і відповідні операції над геометричними векторами.
Таким чином, при введенні поняття лінійного і далі евклидова простору абстрагуються не лише від природи досліджуваних об'єктів, а й від конкретного виду правил освіти суми елементів, твори елемента на число і скалярного твори векторів (важливо лише, щоб ці правила задовольняли восьми аксіомам лінійного простору і чотирьом аксіомам скалярного твору)
При цьому вживання терміну ...
