векторів
Якщо вектори колінеарні (лежать на одній прямій або на паралельних прямих) тобто кут між ними або 0, або 1800, то їх векторний добуток дорівнює нулю
В
Геометричний сенс векторного твори
Якщо вектори наведені до загального початку (що паралельним перенесенням можливо зробити завжди, оскільки ми працюємо тільки з вільними векторами ), то довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на перемножуваних векторах (см.Ріс.28).
В
Рис.28
Властивості векторного твори
1. Властивість антикоммутативність
В
. Властивість асоціативності по відношенню до скалярного множнику? br/>В
4. Розподільна властивість щодо операції додавання
В
Приклад 26 (розкриття дужок у виразі з векторами)
Розкрити дужки у виразі
В
Рішення
В
Приклад 27 (обчислення площі паралелограма)
Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і, якщо
;
;
В
Рішення
Насамперед, площа паралелограма, побудованого на векторах і, визначається як
.
Тобто знайдемо векторний добуток векторів c та d, а потім довжина отриманого вектора чисельно дорівнюватиме шуканої площі паралелограма.
Крок 1
Шукаємо векторне твір, при цьому активно використовуємо властивості векторного добутку
В
Крок 2
Шукаємо, власне площа
В
3.5 Векторні твори ортов
При знаходженні векторних творів ортов в ПДСК корисним виявиться малюнок 29
В
Рис.29
В
Векторне твір в координатній формі
Нехай вектори задані в координатній формі
В
Тоді
В
Обчислюючи останній визначник методом розкладання за елементами першого рядка, отримуємо, що
В
Приклад 28 (площа трикутника)
Обчислити площу трикутника, заданого своїми вершинами А (2; 2, 2), В (4; 0, 3) і С (0; 1; 0).
Рішення
Ідея рішення заснована на тому, що площа трикутника АВС - це половина площі паралелограма, а площа паралелограма зі сторонами АВ і АС - модуль векторного добутку векторів АВ і АС. Коль скоро так, рішення шукаємо в три кроки
знаходимо вектори АВ і АС;
знаходимо векторне твір знайдених векторів;
знаходимо довжину знайденого вектора;
половина знайденої довжини - шукана площа.
Крок 1
В«Знайти векторВ» - це означає знайти його координати :
вектор АВ
В
Крок 2
Векторне твір векторів АВ і АС
В
При знаходженні площі паралелограма, побудованого на векторах АВ і АС, використовуємо той факт, що наші вектори - вільні вектори , а тому ми завжди паралельним переносом зможемо звести їх до спільного початку.
Крок 3
Знаходимо площа паралелограма, побудованого на векторах АВ і АС, тобто довжину векторного твори, тобто, довжину вектора
В В
Крок 4
Шукана площа дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах АВ і АС
В
Відповідь
Площа трикутника АВС дорівнює
.6 Змішане твір векторів
Права трійка векторів
Правою трійкою векторів назвемо трійку векторів, яка підпорядковується правилом буравчика , тобто, для трьох векторів мають місце рівності
В
Допомогти запам'ятати це допоможе малюнок 30
В
Рис.30
Тобто, вектор множимо векторно на вектор - отримуємо вектор і т.д.
Не важко переконатися в тому, що і вектори ортонормированного базису в ПДСК утворюють праву трійку векторів.
Змішане твір векторів
Змішаним твором векторів назвемо число , яке визначається виразом
В
Тобто, в одному творі змішані відразу два: векторне і скалярний - вектор-результат векторного твори множиться на вектор скалярно (ось чому в підсумку отримуємо число ) .
Геометричне властивість змішаного твори векторів
Змішане твір векторів дорівнює обсягу паралелі-піпеда, побудованого на перемножуваних векторах, взятому зі знаком В«+В», якщо ця трійка права і зі знаком В«-В», якщо ця трійка В«ліваВ» (не права).
Умова компланарності векторів
...
