Вектори компланарні (розташовані в одній площині), якщо їх змішане твір дорівнює нулю: В
Змішане твір для векторів, заданих в координатної формі
Для векторів
В
змішане твір визначається виразом
В
Звідки
Умова компланарності для векторів, заданих в координатної формі
В
Приклад 29 (обчислення об'єму піраміди)
Знайти об'єм трикутної піраміди з вершинами A (2; 2, 2), B (4; 3, 3), C (4, 5, 4) і D (5, 5, 6).
Рішення
Ідея завдання заснована на тому факті, що обсяг піраміди дорівнює 1/6 об'єму паралелепіпеда, а тому алгоритм рішення
знаходимо вектори AB, AC і AD;
знаходимо змішане твір знайдених векторів (це буде обсяг параллелелепіпеда);
знаходимо 1/6 від знайденого об'єму - це і буде шуканий об'єм.
Крок 1
Знаходимо вектори AB, AC і AD
В
Крок 2
Обчислюємо обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах AB, AC і AD
В
Крок 3
Обчислюємо V пірамід . З урахуванням того, що отримуємо
В
Відповідь
Об'єм піраміди ABCD дорівнює
4 РІВНЯННЯ ПОВЕРХНІ І РІВНЯННЯ ЛІНІЇ В ПРОСТОРІ
Поверхня
Поверхня, визначена деяким рівнянням в даній системі координат є геометричне місце точок, координати яких задовольняють даному рівнянню F (x; y; z) = 0.
Лінія в просторі
Якщо рівняння F (x; y; z) = 0 і Ф (x; y; z) = 0 визначають деяку поверхню, то лінія L (x; y; z) = 0 може бути визначена як геометричне місце точок загальних для обох поверхонь (лінія перетину поверхонь)
.
.1 Площина, як поверхня першого порядку
Існує, як мінімум, три визначення площині:
1) Площина є поверхню, яка повністю кожну пряму , що сполучає будь-які дві її точки.
2) Площина є безліч точок простору, рівновіддалених від даних двох точок.
А тепер про одну з форм рівняння площині.
По-перше, зі шкільних часів відомо; В«будь-які не збігаються і не лежать на одній прямій три крапки визначають площину, причому єдинуВ». Не випадково абсолютно стійкий (тобто В«не качаєтьсяВ») стілець на трьох ніжках і не стійкий (В«хитаєтьсяВ») стілець на двох і більш ніж на трьох ніжках. По-друге, вектор нормалі до площини орієнтує її в просторі (див. мал.31)
В
мал.31
Нехай шукана площину? проходить через точку М0 перпендикулярно вектору, тоді
перше, вектор є результат векторного добутку вектора М0М2 на вектор М0М1
В
друге, вектор перпендикулярний і вектору М0М2, і вектору М1М2. Звідки, з умови ортогональності векторів отримуємо, що скалярний добуток на вектор М0М2 (або на вектор М0М1) дорівнює нулю. Якщо точка М2 має координати (x; y; z), то скалярний добуток вектора на вектор М0М2 має дорівнювати нулю. З урахуванням того, що вектор М0М2 визначається як
В
отримуємо, що
В
Рівняння площини, що проходить через дану точку і перпендикулярної даному вектору
В
Приклад 30 (одержання рівняння площині)
Знайти рівняння площини, що проходить через точку М0 (1; 1; 1) перпендикулярно вектору
Рішення
У нашому випадку
А = 1, В = 1 і С = 1;
x0 = 2, y0 = 2, z0 = 3,
отже, рівняння площини має вигляд
В
Або, остаточно,
Відповідь
Шукана площина визначається рівнянням
В
Загальне рівняння площини
Взагалі, будь-яке рівняння виду
A? x + B? y + C? z + D = 0
визначає площину (де А, В і С - координати вектора-нормалі до площини). Така форма рівняння площині отримала назву В«загальне рівняння площиниВ». br/>
Неповні рівняння площини
Нехай площину задана своїм загальним рівнянням
A? x + B? y + C? z + D = 0, (*)
тоді
1) якщо D = 0, то (*) визначає площину, що проходить через початок координат;
2) якщо А = 0, то B? y + C? z + D = 0 і маємо площину, паралельну осі Ox (тому);
) якщо В = 0, то A? x + C? z + D = 0 і маємо площину, парал...
