а початок координат - її центром симетрії. Отже, ми можемо обмежитися дослідженням функції
(2)
при a? x <+?, y? 0, тобто розглядати частину гіперболи, що лежить в першій чверті, а потім отриману криву відобразити симетрично щодо осей координат.
Область визначення функції (2): a? x <+?, область значень функції (2): 0? y <+?. Обчисливши похідні y 'і y'', легко переконатися в тому, що функція (2) в інтервалі x ГЋ (a, +?) Зростає від нуля до +? і її графік є опуклим вгору. Пряма y = bx/a є асимптотой гіперболи при x? +? (Рис.1).
В
Відбивши отриманий графік функції (2) симетрично, щодо осей координат, отримуємо шукану гіперболу (рис. 2)
В
Точки перетину гіперболи з віссю OX (В± a, 0) називаються вершинами гіперболи (з віссю OY гіпербола не кореспондується), відрізки a і b-полуосями гіперболи (а-дійсна,-мнима). Покладемо
.
Точки F1 (? c, 0) і F2 (c, 0) називаються фокусами гіперболи. e = (e> 1)-ексцентриситет гіперболи.
Зауваження. 1) Якщо а = в, то гіпербола називається равносторонней. Її рівняння приймає вигляд:
.
) якщо фокуси гіперболи лежать на осі Оу, то рівняння гіперболи має вигляд
В
) рівняння гіперболи з осями, паралельними координатним, має вигляд:
В
де-координати центру гіперболи.
Парабола
Параболою називається крива другого порядку, яка в деякій декартовій системі координат описується рівнянням:
= 2px, (1)
де p> 0 - параметр параболи. Це рівняння називається канонічним рівнянням параболи, а система координат, в якій парабола описується канонічним рівнянням, називається канонічною. p align="justify"> Зауважимо, що у канонічній системі вісь OX є віссю симетрії параболи. Отже, ми можемо обмежитися дослідженням функції
(2)
при 0? x <+? , Тобто розглядати частину параболи, що лежить в першій чверті, а потім отриману криву відобразити симетрично щодо осі OX.
Область визначення функції (2): 0? x <+? , Область значень функції (2): 0? y <+? . Обчисливши y 'і y'', легко переконатися в тому, що функція (2) в інтервалі x ГЋ (0, +?) Зростає від нуля до +? і її графік є опуклим вгору. Асимптот у параболи немає. Початок координат (0, 0)-вершина параболи (рис. 1).
В
Відображаючи графік функції (2) щодо осі OX, отримуємо шукану параболу (рис. 2).
В
Пряма x =? p/2 називається директоркою параболи, а точка (p/2, 0) - її фокусом.
Рівняння y2 =? 2px, x2 = 2py і x2 =? 2py (p> 0) також описують параболи, гілки яких направлені вліво, вгору і вниз, відповідно (рис. 3).
В
ТЕМА 13. Площина
Рівняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору
Нехай у тривимірному просторі задана прямокутна декартова система координат. Сформулюємо таку задачу:
Скласти рівняння площини, що проходить через дану точку M (x0, y0, z0) перпендикулярно даному вектору = {A, B, C}.
Рішення. Нехай P (x, y, z) - довільна точка простору. Точка P належить площині тоді і тільки тоді, коли вектор MP = {x? x0, y? y0, z? z0} ортогонален вектору = {A, B, C} (рис.1).
В
Написавши умова ортогональності цих векторів (, MP) = 0 в координатної формі, отримаємо:
(x? x0) + B (y? y0) + C (z? z0) = 0 (1)
Це і є шукане рівняння. Вектор = {A, B, C} називається нормальним вектором площини. p> Таким чином, щоб написати рівняння площини, потрібно знати нормальний вектор площини і яку-небудь крапку, що належить площині.
Загальне рівняння площини
Якщо тепер в рівнянні (1) розкрити дужки і привести подібні члени, отримаємо загальне рівняння площини:
В
де D =? Ax0? By0? Cz-
У тривимірному просторі в декартовій системі координат будь-яка площина описується рівнянням 1-го ступеня (лінійним рівнянням). І назад, будь лінійне рівняння визначає площину. p align="justify"> Окремі випадки загального рівняння площини:
Ах + Ву + Сz = 0 (D = 0) - площина проходить через початок координат;
Ах + Ву + D = 0 (C = 0) - площина паралельна осі Oz (аналогічний сенс мають рівняння Ах + Сz + D = 0, By + Cz + D = 0);
Ах + Ву = 0 (D = C = 0) - площина проходить через вісь Oz (Ax + Cz = 0, By + Cz = 0 - через осі Oy і Ox, відповідно);
Ax + D = 0 (B...
