Мінімальна.
2. Спробуємо звесті завдання до планіметрічної. Через точки А и В проведемо площини?, Перпендикулярну площіні? и доведемо, что Шукало точка М захи прямій m Перетин площини? и?. Для цього Достатньо довести, что для будь-якої точки X площини?, Что НЕ лежить на прямій m , знайдеться така точка прямої m , что (рис. 1.20). Доведемо це:
Рис. 1.20
а) візьмемо на площіні? довільну точку Х , что НЕ захи прямій m . Їх точки Х опустімо перпендикуляр, на пряму m
б) ТРИКУТНИК прямокутні з пряму кутами при вершині;
в) значити, .. Отже,.
Побудова:
Рис. 1.21
1. Через пряму АВ перпендикулярно площіні? проведемо площини? (Рис. 1.21);
2.
. Подальші побудова проводимо в площіні?:
а) побудуємо точку, симетрично точці В відносно прямої m
б) Знайдемо точку М Перетин прямих m і. М ? Шукало.
Доведення:
. З АНАЛІЗУ віпліває, что точка М лежить на прямій m . Рис. 1.21
2.Покажемо, что для будь-якої точки N прямої m віконується нерівність:
а). точка симетрично точці В відносно прямої m , тому;
б). тоді.
Значить, для побудованої точки М площини? сума відстаней АМ + МВ є мінімальною.
Дослідження. Завдання має єдине решение, оскількі ВСІ наведені побудова всегда здійсненні и приводять до однозначного результату.
Завдання 1.7. Дві точки А і В знаходяться по Різні Сторони від площини? . Знайте в площіні? точку М , різніця відстаней АМ та МВ від Якої до точок А і У би була найбільшою.
Побудова:
Рис. 1.22
1. Побудуємо точку, симетрично точці В відносно площини? (Рис. 1.22).
. Знайдемо точку М Перетин прямої з площини?. М ? Шукало.
Доведення:
. Точка М захи площіні? з побудова.
. Доведемо, что для будь-якої точки N площини? віконуватіметься нерівність:
а) точки и В сіметрічні відносно площини?, тому;
б). Таким чином, величина пріймає найбільше значення. Це Можливо, коли точка N збігається з точкою М , оскількі).
Дослідження: Будемо вважаті різніця відстаней АМ та МВ від точки М площини? до точок А и В найбільшою
1.Якщо точки А і збігаються ( А и В сіметрічні відносно площини?), то для будь-якої точки N площіні а, отже, будь-яка точка площини? задовольняє умові задачі.
. Пряма паралельна площіні?, ЯКЩО точки А и В рівновіддалені від площини?, альо НЕ сіметрічні відносно?, то чи не існує на площіні? точки, что задовольняє умові задачі.
. Если точки А и В НЕ рівновіддалені від площини? и НЕ сіметрічні відносно площини?, то Завдання має єдине решение. ...
