печенні оцінки, запишеться у вигляді з відповідною оцінкою похибки. Можна побудувати ітераційні алгоритми:
.
Для операторів типу згортки такі алгоритми є псевдоітераціоннимі (у відсутності нелінійних операцій-е наближення будується за і правої частини в результаті рішення різницевого рівняння).
У програмній реалізації схеми використовуються швидкі вейвлет-перетворення.
Для отримання рішення можна використовувати схему Гальоркіна, згідно з якою рішення шукається у вигляді розкладання, звідки
.
Використовуючи деякий базис, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо коефіцієнтів. У цьому випадку шукана функція шукається у вигляді масштабирующих функцій і вейвлетів
,
де. Процедура вирішення зводиться до обчислення згорток і та рішення відповідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Заздалегідь підібраний набір модельних (близьких) рівнянь і розрахунок відповідних коефіцієнтів дозволяють ефективно вирішувати широкий клас вихідних рівнянь.
2.3 Метод Бубнова-Гальоркіна для вирішення інтегральних рівнянь
Зафіксуємо деяку константу. Нехай. Позначимо через сукупність усіх визначених на квадраті функцій кожна з, яких раз безперервно дифференцируема, причому при для всіх її похідних - го порядку справедливі оцінки
. (2.2)
Визначення 2.1. Функцію називатимемо асимптотично - гладкою функцією, якщо при деякому.
Зауваження. Параметр грає роль регулярізірующего параметра, призначеного для згладжування особливості при.
Нехай - асимптотично m-гладка функція. Розглянемо інтегральне рівняння Фредгольма другого роду
(2.3)
із заданою функцією і невідомою функцією. Складнощі чисельного рішення рівнянь такого виду (особливо багатовимірних) традиційними чисельними методами пов'язані з тим, що матриці, що виходять при їх дискретизації, виявляються заповненими, тобто складаються з ненульових елементів.
Розглянемо для (2.3) метод Бубнова-Гальоркіна на базі побудованих вейвлет-функцій ступеня. Зафіксуємо деяке натуральне, і будемо шукати рішення (2.3) у вигляді
. (2.4)
З умов
,
,. (2.5)
Сукупність умов (2.5) являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратною матрицею порядку, елементи якої мають вигляд
(2.6)
Для класичних систем функцій у методі Гальоркіна числа (2.6) виявляються, в основному, ненульовими і недостатньо малими, щоб ними можна було знехтувати і розглядати СЛАР (2.5) як розріджену. У разі вейвлет більшість елементів матриці СЛАР малі за абсолютною величиною.
Теорема 2.1. Знайдеться така константа, яка не залежить від, що при справедливі оцінки
(2.7)
а при
(2.8)
Точно такі ж оцінки справедливі при заміні на або на.
Доказ. Надалі константи, не залежні від (можливо різні), будемо позначати одним символом. Розглянемо функцію. Нехай. В силу апроксимаційних властивостей просторів сплайнів, финитности і оцінок (2.2) знайдеться така функція, що
Але ортогональна, тому
(2.9)
Звідси
і оцінка (2.7) встановлена. Оцінка (2.8) встановлюється аналогічно. Теорема доведена.
