= D = 0)-площина паралельна площині Oyz (Cz + D = 0, By + D = 0 - паралельно площині Oxy і Oxz, відповідно);
Ax = 0, тобто х = 0 (В = С = D = 0) - площина збігається з площиною Oyz (y = 0, z = 0 - рівняння площин Oxz і Oxy, відповідно).
Рівняння площини у відрізках: x / a + y / b + z / c = 1,
де а, b, c - абсциса, ордината і аппликата точок перетину з площиною координатних осей Ox, Oy, Oz, відповідно.
Рівняння площини, що проходить через три дані точки М1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) і M3 (x3; y3; z3):
В
Відстань від точки до площини
Поставимо таку задачу:
Знайти відстань d від точки P (x0, y0, z0) до площини Ax + By + Cz + D = 0.
Рішення: фіксуємо деяку точку M (x1, y1, z1),, приналежну площині, і побудуємо вектор MP (рис. 1).
В
Искомое відстань d дорівнює абсолютній величині проекції вектора MP на нормальний вектор площини. Одержуємо:
В
У нашому випадку:
= {A, B, C} і = {x0? x1, y0? y1, z0? z1}.
За формулою (1) маємо:
В
ТЕМА 14. Пряма лінія в просторі
Загальні рівняння прямої в просторі
Лінія в тривимірному просторі визначається, взагалі кажучи, перетином двох поверхонь, тобто описується системою двох рівнянь.
Пряму в просторі так можна трактувати як лінію перетину двох площин і, отже, описувати системою двох лінійних рівнянь
A1x + B1y + C1z + D2 = 0 (1) x + B2y + C2z + D2 = 0,
за умови, що ці площини непаралельні, тобто їх нормальні вектори = {A1, B1, C1} і = {A2, B2, C2} неколінеарна. Ця система рівнянь (1) називається загальними рівняннями прямої в просторі. p align="justify"> Канонічні і параметричні рівняння прямої
Поставимо таку задачу:
Скласти рівняння прямої, що проходить через дану точку M (x0, y0, z0) паралельно даному вектору = {l, m, n} (вектор називається напрямних вектором прямий).
Рішення. Нехай N (x, y, z) - довільна точка простору. Побудуємо вектор MN = {x? x0, y? y0, z? z0} (рис.1).
В
Очевидно, що точка N належить прямій тоді і тільки тоді, коли вектор MN коллінеарен вектору = {l, m, n}, тобто коли їх координати пропорційні:
(2)
Ці рівняння називаються канонічними рівняннями прямої в просторі.
Якщо в (2) ввести параметр t
,
то рівняння прямої можна записати у вигляді:
x = x0 + lt = y0 + mt (3) = z0 + nt.
Рівняння (3) називаються параметричними рівняннями прямої.
ТЕМА 15. Пряма і площина в афінному просторі
Кут між прямою (L) і площиною (Q) Ax + By + Cz + D = 0 визначається за формулою:
В
Умова паралельності прямої (L) і площині (Q) має вигляд:
+ Bn + Cp = 0;
умова їх перпендикулярності:
В
Для знаходження точки перетину прямої і площини зручно скористатися параметричними рівняннями прямої:
x = x0 + mt = y0 + nt = z0 + pt
Координати точки перетину знаходяться із системи рівнянь:
В
Умова, при якому пряма (L) лежить у площині (Q):
В
Якщо Am + Bn + Cp В№ 0, то пряма перетинає площину; якщо Am + Bn + Cp = 0 і Ax0 + By0 + Cz0 + D В№ 0 - пряма паралельна площині.
ТЕМА 16. Циліндричні і конічні поверхні. Поверхні обертання
Системи координат у просторі: декартові, циліндричні та сферичні координати
Декартова система координат у просторі визначається точкою і базисом з трьох векторів. Точка O називається початком координат. Прямі, проведені через початок координат в напрямку базисних векторів, називаються осями координат. У тривимірному просторі вони називаються осями абсцис, ординат і аплікат. Осі координат є числовими осями з початком в точці O, позитивним напрямком, що збігається з напрямком відповідного базисного вектора, і одиницею довжини, що дорівнює довжині цього вектора. Координатами точки M називаються координати вектора OM (радіус-вектора) (див. рис. 1). Якщо базис ортонормованій, то зв'язана з ним декартова система координат називається прямокутною. br/>В
Поверхностью 2-го порядку називається поверхня, яка в деякій прямок...
