ітлив іноді дуже несподівані вісім доказів квадратичного закону взаємності, чотири докази основної теореми алгебри, що відносяться до різних гілок математики, показав зв'язок між комплексними числами і геометрією, між обертаннями сфери і томографічними перетвореннями площині комплексного змінного і т. д.
Точка зору Гауса на багато питань була дуже сучасна. Він говорив: В«Математик здійснює повну абстракцію від природи об'єктів і сенсу їх відносин: йому треба тільки перерахувати ці відносини і порівняти їх між собоюВ». p align="justify"> Але, як не багаті праці Гаусса новими структурами, вони знаходяться там в прихованому вигляді, як би замаскованими.
Як йдеться в книзі [Колмогорова], глибока прозорливість Гаусса не спирається, як в XX ст., на явні визначення загальних структур, навпаки, вона послужила імпульсом для їх виявлення.
3.7.3 Гаусс і теорія алгебраїчних чисел
У 1828 і 1832 рр.. з'явилися дві частини чудової роботи Гаусса В«Теорія біквадратичних відрахуваньВ». У цій роботі не тільки дається геометрична інтерпретація комплексних чисел (що робилося і до нього), а й, що дуже важливо, на комплексні числа було перенесено поняття цілого числа, яке вже більше 2000 років здавалося невід'ємною властивістю цілих раціональних чисел. Гаусс побудував арифметику цілих комплексних чисел, повністю аналогічну звичайної, сформулював за допомогою нових чисел біквадратичних закон взаємності. p align="justify"> Цим перед арифметикою були відкриті нові неосяжні горизонти. Незабаром Ейзенштейн і Якобі сформулювали і довели кубічний закон взаємності. p align="justify"> Ця робота Гаусса, яка містить глибокий результат теорії алгебраїчних чисел, цікава і з точки зору теорії груп: у ній побудований перший нетривіальний приклад нескінченної абелевої групи і вивчена її структура.
3.7.4 Праці Коші
У 1815 р. О.-Л. Коші опублікував в В«Журналі Політехнічної школиВ» два мемуара, в яких досліджував завдання, що виникла в теорії рівнянь: знайти число значень, які може приймати деяка функція при всіляких перестановках входять до неї величин. Формулювання цього завдання і увійшла в назву першого мемуара. У ньому Коші змалював контури системи понять, у якій розвивається теорія підстановок, а потім і теорія груп. p align="justify"> Якщо деяка функція залежить від n змінних, то число М різних значень, які вона може приймати при перестановці змінних, є дільником n! , А число підстановок, що залишають цю функцію інваріантної, так само n!/М і вони утворюють групу. p align="justify"> Цей результат вже був доведений Лагранжем, але Коші пішов значно далі. Він винайшов двох рядкове позначення для підстановок: образ кожного символу розташовувався у другому рядку під цим символом. Коші вивчив те, що зараз називається циклічною групою, породженою даної підстановкою S порядку n. p align="justify"> Одна...
