утній декартовій системі координат визначається рівнянням
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0
де A2 + B2 + C2? 0. br/>
Циліндричні і сферичні координати визначаються точкою O, що походить із неї променем l і одиничним вектором, перпендикулярним l (рис. 2).
В
Проведемо через точку O перпендикулярно вектору площину P і позначимо проекцію точки M на цю площину M '.
У циліндричних координатах положення точки M визначається числами?, j і z, де? і j - полярні координати точки M ', а z - проекція вектора OM на вектор. Нехай точка O збігається з початком прямокутної декартової системи координат, промінь l - з позитивною частиною осі абсцис, а вектор - з позитивною частиною осі аплікат (рис. 3). br/>В
Декартові координати x, y і z точки M виражаються через її циліндричні координати ? , j і z за формулами
x = ? cos j < span align = "justify">, y = ? sin j , z = z.
У сферичних координатах положення точки M визначається числами?, j і?, де? = | OM |, j - полярний кут точки M ', а? - Кут між векторами і OM. Ми будемо відраховувати кут? від вектора у напрямку до вектору OM. Кут? приймає значення від 0 до? . p> Нехай точка O збігається з початком прямокутної декартової системи координат, промінь l - з позитивною частиною осі абсцис, а вектор - з позитивною частиною осі аплікат (рис. 4), то
В
Декартові координати x, y і z точки M виражаються через її сферичні координати ? , j і ? за формулами
=? cos j sin?, y =? sin j sin?, z =? cos?
Еліпсоїд, сфера
еліпсоїді називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат визначається рівнянням
В
де a, b, c> 0 - параметри еліпсоїда. Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпсоїда, а система координат, в якій еліпсоїд описується канонічним рівнянням, називається канонічною. p align="justify"> З рівняння еліпсоїда випливає, що поверхня симетрична щодо координатних площин, початок координат є центром еліпсоїда (рис.1).
В
В окремому випадку a = b = c = R маємо рівняння сфери:
+ y2 + z2 = R2.
однополостного гіперболоїд.
однополостного гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат визначається рівнянням
,
де a, b, c> 0 - параметри гіперболоїда (його півосі див. рис.1). Це рівняння називається канонічним рівнянням однополостного гіперболоїда, а система координат, в якій гіперболоїд описується канонічним рівнянням, називається канонічною. br/>В
Перетини гіперболоїда горизонтальними площинами z = h є еліпсами:
В
Перетини гіперболоїда вертикальними площинами x = h або y = h є гіперболами:
В
Циліндричні поверхні
Циліндричної поверхнею називається поверхня, яка в деякій декартовій системі координат визначається рівнянням, в якому не фігурує одна з змінних:
(x, y) = 0, F (x, z) = 0 або F (y, z) = 0.
Властивість циліндричних поверхонь
Якщо деяка точка M0 (x0, y0, z0) належить циліндричної поверхні, описуваної рівнянням F (x, y) = 0, то всі крапки прямій, що проходить через цю точку паралельно осі OZ, також належать циліндричної поверхні. Такі прямі називаються твірними циліндричної поверхні, а крива, описувана рівнянням F (x, y) = 0 і получающаяся в перетині будь площиною z = h, називається направляє. p align="justify"> Приклади циліндричних поверхонь 2-го порядку
Еліптичний циліндр (рис.1).
В
В
Якщо то рівняння x2 + y2 = R2 в тривимірному просторі визначає круглий циліндр.
Гіперболічний циліндр.
Рівняння
в тривимірному просторі визначає циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі OZ. Направляючої є гіпербола з півосями a і b (рис. 2)...
