Відповідь: при нескінченно багато коренів при немає коренів при
.Решіте нерівність
Визначимо безліч допустимих значень параметра: цим безліччю є все безліч чисел.
При отримуємо. Воно вірно при будь-яких х.
При. Розділимо на, одержимо
При. Розділимо на , отримаємо [15, с. 12].
2.1.5 Завдання з параметрами в VIII класі
У восьмому класі є багато тим, де можна з успіхом використовувати завдання з параметрами: при вирішенні рівнянь і нерівностей з однією змінною, при вирішенні дрібно-раціональних рівнянь і, природно, при вирішенні квадратних рівнянь. Тут основна увага приділяється не тільки питань теорії, але і методам вирішення завдань з параметрами. Наприклад, чи можна дати визначення квадратного рівняння наступним чином:
«Рівняння виду , де х- змінна (невідоме), а, b і з параметри ( або вирази, що залежать від параметрів), причому, , називається квадратним ».
Особливо ретельно розглядається теоретичний матеріал, що дозволяє учням зрозуміти, коли квадратне рівняння з параметрами не має коренів, має один корінь (або два рівних) і має два корені. Випадок, коли коріння квадратного рівняння повинні бути або одного знака, або різних, або володіти іншими властивостями підкріплюватися необхідними прикладами. При вирішенні нерівностей особлива увага приділяється розгляду двох методів: методу розкладання на множники і методу введення нової змінної.
Розглянемо приклад: при яких значеннях параметра з рівняння
а) має різні дійсні корені;
б) має один (дві рівних) корінь;
в) не має дійсних коренів;
г) має хоча б один спільний корінь з рівнянням?
Рішення.
а)
б)
в)
г) Рівняння має коріння при.
Розглянемо рівняння
Нехай спільний корінь двох рівнянь, тоді
Нехай спільний корінь двох рівнянь, тоді
Якщо - 15 і 2 є коренями обох рівнянь, то маємо систему, яка не має рішенні.
Відповідь: а) б) в) г) або.
2.1.6 Завдання з параметрами в IX класі
У дев'ятому класі вивчаються такі важливі питання як ступінь з раціональним показником, квадратична функція, вирішуються рівняння і системи рівнянь, нерівності. Тому включення в дидактичний матеріал завдань з параметрами має сприяти більш якісному засвоєнню навчального матеріалу і одночасно створити умови і надати кошти для подальшого розвитку логічного мислення та творчих здібностей учнів.
У зв'язку з тим, що тема «Квадратична функція» вивчається першою, з учнями розглядається наступний теоретичний матеріал: необхідні і достатні умови для заданого розташування коренів квадратного тричлена на числовій осі, властивості. функції в задачах з параметрами, аналітичні та графічні прийоми вирішення завдань з параметрами.
На заняттях з хлопцями теоретичний матеріал узагальнюється, розглядаються відповідні завдання з параметрами. Наприклад, для вирішення більшості завдань з параметрами дуже важливо знати властивості квадратичної функції і залежність цих властивостей від можливих співвідношень між коефіцієнтами. Причому дослідження знака дискримінанта дозволяє встановити наявність дійсних коренів, а теорема Вієта знаки дійсних коренів.
Однак для цілого ряду завдань потрібно ще встановити розташування дійсних коренів квадратного тричлена на числовій осі відносно яких-небудь фіксованих точок числової осі. Ці питання розглядаються більш докладно, вводяться такі позначення:
- квадратична функція,
- значення функції в точці
- дискримінант,
і (причому) - дійсні корені рівняння
- абсциса вершини параболи,
- ордината вершини параболи.
Відповіддю на поставлене завдання служать наступні чотири
узагальнюючі теореми: Т1 . тоді і тільки тоді, коли
Т2 . тобто тоді і тільки тоді, коли
Т3 . тоді і тільки тоді, коли
Т4 . тоді і тільки тоді, коли (В цьому випадку виконується автоматично).
Ці теореми часто застосовуються при вирішенні завдань з параметрами і тому мають велике значення. Однак лише деякі учні знають їх точні формулювання, оскільки вони не входять в шкільну програму, а більшість учнів навіть не в змозі запам'ятати їх, не кажучи вже про аналітичний доказі теорії, хоча воно і нескладно (використовується теорема Вієта і властивість квадратичних нерівностей). Саме тому з учнями в школі пропонують розглядати геометричну інтерпретацію теорем:
)
Об'єднуючи всі чотири випадки, одержимо систему Т1.
)
Об'єднуючи ці умови, одержимо систем...
