ні це рішення утворює набір кіл (див. рис. 2.1) для різних . Якщо підставити рішення в рівняння, виходить звичний результат і , тобто просте гармонійне рух. Якщо ж додати позитивне тертя, тотраекторіі будуть накручуватися по спіралі на початок координат.
Для полігональної функції тертя (рис. 3.3) можна В«зшитиВ» на фазовій площині спіралі, відповідні трьом лінійним відрізкам . У кожній з трьох областей будуються відповідні траєкторії і з'єднуються на кордонах (рис. 3.4). У центральній області спіральні траєкторії розкручуються; у верхній і нижній областях вони скручуються.
При деякій проміжній амплітуді мається замкнута крива, яка не скручується і не розкручується. Всі інші траєкторії прагнуть до цього граничного циклу, який відображає стабільне періодичне коливання, здійснюване системою самостійно. br/>В
Рис. 3.4 Фазові траєкторії нелінійного генератора, що включають граничний цикл
Цей приклад дозволяє проілюструвати поведінка простий нелінійної системи.
Звичайно, якщо ускладнити нелінійну функцію , можна очікувати, що вийдуть більш складні фазові портрети. Одним з перших, хто досліджував поведінку таких нелінійних систем, був Пуанкаре [4], роботи якого були настільки всеосяжні, що склали основу майже всього, що було зроблено пізніше.
Граничні цикли можна розділити на стійкі, нестійкі і нейтральні. Стійкий граничний цикл - вид періодичного коливання, яке після впливу обурення повертається до свого первісного стану. Коливання, відповідне нестійкого граничного циклу, ніколи не повертається до свого первісного вигляду після довільно малого обурення. Нейтральний граничний цикл залежить тільки від початкових умов, і будь-яке обурення змінює його пропорційно величині обурення. Фактично обурення можна розглядати як нові початкові умови; маятник без тертя, який зберігає інформацію про протікання процесу в минулому, служить тут прикладом. Стійкі граничні цикли іноді класифікуються як жорсткі і м'які. br/>
.1 Якісний аналіз рівняння Ван дер Поля
Якщо покласти в (3.11) і , отримуємо одну з форм рівняння Ван дер Поля
. (3.14)
Особливість цього рівняння полягає в тому, що, коли мало, тертя негативно; воно стає позитивним при великих . За допомогою комп'ютерної техніки можна побудувати сімейство траєкторій рівняння Ван дер Поля на фазовій площині (В«фазовий портретВ»). На рис. 3.5 наведено типовий фазовий портрет для різних значень . Обговоримо, що відбуваєтьс...
