довж всієї сіткової кордону Г ', отримуємо замкнуту систему лінійних алгебраїчних рівнянь з пятідіагональной матрицею (малюнок 3.9).
На малюнку 3.9 елементи, не рівні нулю, відзначені знаками?. Приміром для дев'ятого рядка ( i =3, j =2) ці елементи наступні: g 3,2 ; c 3,2 ; a 3,2 ; b 3,2 ; f 3,2 .
вирішуємо матричне рівняння можна записати у вигляді
. (3.36)
де A - матриця виду, показаного на малюнку сукупність невідомих значень тиску на разностной сітці, а також правих частин системи - вектори виду
. (3.37)
Оскільки система (3.35) є нелінійною, отримання її вирішення можливе тільки на основі чисельних методів інтегрування диференціальних рівнянь в приватних похідних. Методи чисельного вирішення подібних систем можуть бути різними. У справжній роботі використовується метод неповної разностной факторизации [].
Суть методу полягає в наступному. Пятідіагональная матриця системи різницевих (алгебраїчних) рівнянь представляється у вигляді добутку двох матриць - верхньої і нижньої (малюнок 3.11) трикутних матриць. На малюнку елементи, не рівні нулю, відзначені знаками? (Наприклад для дев'ятого рядка ( i =3, j =2) ці елементи наступні: 1; b 3,2 ; f 3,2 ). На малюнку елементи, не рівні нулю, відзначені знаками? (Наприклад для дев'ятого рядка ( i =3, j =2) ці елементи наступні: g 3,2 ; c 3,2 ; a 3,2 ).
Звичайне розкладання (факторизація) матриці А на верхню U і нижню L трикутні матриці призводить до появи ненульових членів в області між головною діагоналлю і діагоналлю g для нижньої матриці і в області між головною діагоналлю і діагоналлю f для верхньої матриці. При значному числі вузлів різницевої сітки вирішення такої факторізовать (тобто розкладеної на множники) системи вимагає великої пам'яті для зберігання ненульових членів матриць і значних витрат машинного часу на вирішення.
Однак матрицю А можна модифікувати додаванням деякої допоміжної матриці N таким чином, щоб ненульові члени зберігалися тільки на двох додаткових діагоналях.
Модифікована матриця ( A + N ) легко факторізуется (розкладається) на твір матриць LU.
Згідно ідеї розглянутого методу розв'язання додамо справа і зліва в (3.36) допоміжну матрицю. Слід зазначити, що для визначення матриці N можна використовувати кілька методів. Ми скористаємося методом, запропонованим Стоуном. Тоді будемо мати
, (3.38)
де матриця ( A + N ) за умовою легко розкладається.
Система (3.38) вирішується, якщо величини в правій частині відомі. Для цього застосуємо наступну итерационную схему:
, (3.39)
де m - номер ітерації.
Деякі дослідники вказують, що для поліпшення збіжності рішення зручніше вирішувати задачу не відносно ітеріруемой величини p m +1 , а щодо вектора нев'язки (збільшень):
. (3.40)
Додамо і віднімемо з правої частини (3.38) величину Ap m .
. (3.41)
Тоді
(3.42)
або остаточно
