ння тиск в Градуювальне експерименті;
x1 - код тиску NP;
x2 - код температури тензомоста NT;
x3 - код прирощення температури
bi - коефіцієнти регресії.
Складемо систему умовних рівнянь. Позначимо індексами при коефіцієнтах b комбінацію базисних функцій, а індексами при факторах x - номер рядка таблиці експериментальних даних (всього n рядків). Тоді в алгебраїчному вигляді система рівнянь буде наступною:
(4.3)
Дана система рівнянь є несумісною, і не має єдиного рішення. Перетворимо систему умовних рівнянь в систему нормальних рівнянь. Скористаємося покрокової процедурою перетворення розробленої Гауссом. На першому кроці процедури кожне умовне рівняння системи (4.3) множиться на свій множник при першому коефіцієнті регресії b0, після чого всі перетворені таким чином умовні рівняння складаються зверху вниз; сумарне рівняння і буде першим нормальним рівнянням. На другому кроці кожне вихідне умовне рівнянь множиться на свій множник при другому коефіцієнті b з наступним складанням отриманих рівнянь і утворенням другого нормального рівняння і т.д., до вичерпання всіх множників при коефіцієнтах b. У результаті формується наступна система нормальних рівнянь, число яких дорівнює числу коефіцієнтів регресії в рівнянні:
Система нормальних рівнянь (4.4) сумісна, складається з 11 рівнянь і 11 невідомих, має єдине рішення і мінімізує залишкову суму, тобто забезпечує найкраще рішення системи умовних рівнянь (4.3) з усіх можливих рішень.
Вирішивши систему нормальних рівнянь отримані наступні коефіцієнти полінома регресії:
b0=- 2,5516b1=1,75? 10-3b2=- 1,97? 10-4b3=- 4,61? 10-3b12=6,16? 10-8b13=1 , 18? 10-6b23=3,2? 10-7b12=- 9,7? 10-11b11=- 7,3? 10-14b22=- 4,7? 10-9b33=1,6? 10-6
У результаті відхилення значень тиску знайдені по математичної моделі від задаваемого тиску в Градуювальне експерименті склало не більше 0,04%.
У деяких випадках коефіцієнти регресії є залежними один від одного випадковими величинами. При цьому значення коефіцієнтів регресії залежить від кількості членів рівняння, тобто зменшення або збільшення їх числа впливає на значення всіх коефіцієнтів, включених до поліном. Тому, якщо якийсь з коефіцієнтів близький до нуля, не можна його просто виключити з рівняння, розрахунки для нової форми полінома потрібно проводити знову і повністю. Ця невизначеність значень коефіцієнтів унеможливлює їхню фізичну інтерпретацію і є принциповим недоліком методу. Щоб позбутися залежності коефіцієнтів регресії один від одного необхідно організувати повний факторний експеримент. Проведення такого роду експерименту може зайняти тривалий період часу. Зразкові значення тиску в ході експерименту задавалися грузопоршневой манометром МП - 600 класу точності 0,05. Швидкість опускання поршня у манометрів класу точності 0,05 відповідає 0,5 мм/хв, робочий хід поршня повинен бути не менше 15 мм [22]. Значить, мінімальний час, при якому буде утримуватися зразкове значення тиску даними грузопоршневой манометром, одно 30 хвилинам. Це унеможливлює проведення безперервного багатогодинного експерименту. Для скорочення часу проведення експерименту без шкоди точності апроксимації в розрахунок було запропоновано взяти точки від хвилини до початку часу зміни температури до екстремуму значення тиску (див. Рисунок 4.1). При цьому чекати сталого режиму тиску немає необхідності, що скорочує час експерименту в кілька разів. У такому випадку отримані наступні коефіцієнти рівняння математичної моделі:
b0=- 3,67b1=2,5? 10-3b2=- 1,56? 10-4b3=1,16? 10-4b12=1,78? 10-10b13=- 1 , 24? 10-7b23=- 3,80? 10-8b12=1,06? 10-11b11=- 1,28? 10-14b22=- 5,47? 10-10b33=- 7,93? 10-7
Максимальна наведена похибка апроксимації в даному випадку склала 0,007%.
Для подальшого скорочення обсягу експерименту і час його проведення було запропоновано отримати математичну модель тільки для ділянки графіка, відповідного найбільшої швидкості зміни температури (останні два сплески тиску на малюнку 4.1), а потім з отриманими коефіцієнтами регресії необхідно прорахувати весь масив експериментальних даних. По завершенню розрахунків максимальна наведена похибка апроксимації не перевищила 0,005%, а коефіцієнти регресії мають такий вигляд:
b0=- 3,7b1=2,5? 10-3b2=- 1,53? 10-4b3=3,2? 10-3b12=1,58? 10-10b13=- 9 , 04? 10-7b23=- 2,75? 10-7b12=7,47? 10-11b11=- 7,03? 10-15b22=- 6,4? 10-10b33=- 1,83? 10-6
Запропонований метод проведення багатофакторного градуювального експерименту дозволяє істотно скоротити час і обсяг повного факторного експерименту.
За знайденими коефіцієнтами побудована залежність тиску від трьох параметрів: коду, пропорційного напрузі на вимірювальній...
