> і АЕС паралельні. б) Знайдіть площу О” МКР , якщо площа О” AEC дорівнює 48 см 2 . p> Рішення: а) Зауважимо, що О” AEC і не лежить в ньому точка В утворюють тетраедр Васі . МК | | АС ( МК - середня лінія О” AВC ). КР | | РЄ ( КР - середня лінія О” вcе ). По теоремі про паралельності площин (через пересічні прямі): ( МКР ) | | ( АСЕ ).
б) За формулою Герона:
В
, як середні лінії відповідних трикутників. Підставимо дані значення у формулу:. Звідси. p> 3.09. Три відрізка А 1 А 2 , У 1 У 2 і З 1 З 2 , що не лежать в одній площині, мають спільну середину. Доведіть, що площині А 1 У 1 З 1 і А 2 У 2 З 2 паралельні (рис. 40).
Рішення: Кожні дві пересічні прямі задають площину (через будь-які дві пересічні прямі можна провести площину, і притому тільки одну). Оскільки точка перетину ділить прямі навпіл, то по теоремі Фалеса: А 1 У 1 | | У 2 А 2 . Аналогічно доводиться паралельність З 1 У 1 і З 2 У 2 , А 1 У 1 і А 2 У 2 . По теоремі про паралельність площин (через пересічні прямі):В
3.10. Пряма DF перетинає паралельні площини О±, ОІ і Оі відповідно в точках D , Е і F , при цьому DF = 3, Е F = 9 (рис. 41). Пряма EG перетинає площини О± і Оі відповідно в точках G і Н , при цьому EG = 12. Знайдіть довжину G Н . p> Рішення: Прямі EF і Е H задають площину EFH , яка перетинає площини О± і Оі за прямими GD і FH відповідно. О” GED ~ О” HEF (Так як GD | | FH ,). По властивості перетворення подібності:. Тоді. p> 3.11. Площині О± і ОІ перетинаються по прямій з (рис. 42). Через точки А і В , розташовані поза цих площин, проводяться паралельно площині ОІ і паралельні між собою прямі АС і BD (), а також - паралельно площині О± і паралельні між собою прямі АЕ і BF (). Доведіть: а) площини АСЕ і BDF паралельні, б) площині АСЕ і BDF перетинають площини О± і ОІ по паралельних прямим.
В
Рішення: а) G А | | DB , АЕ | | F В за умовою. По теоремі про паралельність площин (через пересічні прямі): ( АСЕ ) | | ( DBF ).
б) BF і АЕ задають площину, паралельну площині О±. По властивості паралельних площин: EF | | з . Аналогічно CD | | c . За ознакою паралельності прямих: CD | | EF . h2 align=center> 5.3. Уроки перевірки знань, умінь і навичок
Для перевірки знань, умінь і навичок розроблені три завдання на виявлення типів оперування просторовими образами: зміна просторового положення образу (I тип); перетворення структури образу (II тип); зміна положення і структури образу одночасно (III тип).
I варіант
1. Через вершини паралелограма ABCD , що лежить в одній з двох паралельних площин, проведені паралельні прямі, які перетинають другу площину в точках А 1 , У 1 , З 1 і D 1 . Доведіть, що чотирикутник А 1 У 1 З 1 D 1 теж паралелограм (рис. 43).
В
Рішення: АА 1 = DD 1 = СС 1 = ВВ 1 (Відрізки паралельних прямих, укладені між паралельними площинами, рівні). Попарно паралельні прямі задають паралелограми (завдання площині через паралельні прямі), отже D 1 А 1 | | D А | | СВ | | З 1 У 1 . За визначенню А 1 У 1 З 1 D 1 паралелограм.
2. Доведіть, що через будь-яку з перехресних прямих можна провести площину, паралельну інший прямий (модифікація завдання 2.14).
3. Дано дві паралельні площині, точка поза цих площин та коло в одній з цих площин (Мал. 44). Через кожну точку Х окружності і дану точку проводиться пряма, що перетинає другу площину в деякій точці Х 1 . Що являє собою геометричне місце точок Х 1 ? p> Рішення...
