жна записати
z: u = u: v = v: t, zt = uv = B, z - t = D, A = u - V. p> Якщо в рішенні Тартальи D замінити на BD, то обидва рішення співпадуть.
Спосіб Вієта означає заміну кубічного кореня двома середніми геометричними, що повністю відповідає духу давніх греків.
З одержані пропорцій знайдемо
u 3 = z 2 t, v 3 = zt u 3 - v 3 = zt (z - t) = BD
Виет особливо розглядав тричленні рівняння різних ступенів і в першу чергу цікавився кількістю їх коренів, маючи на увазі тільки позитивні коріння. Негативні коріння він визначав як коріння рівняння, в якому невідоме х замінено на-у. Вієт, отримував тричленні рівняння з квадратних; він чинив так, щоб число позитивних коренів залишалося колишнім. При цьому він користувався підстановкою х = ky m або спеціальними прийомами. p> Один із прийомів Вієта виглядає так. Нехай дано Урава-ня
x 2 + ах = b, а, b> 0.
Для отримання рівняння четвертого ступеня зведемо ліву та праву частини рівняння в квадрат:
(х 2 + ах - b) 3 = X 4 + a 2 x 2 + b 2 + 2ax 3 - 2bx 2 - 2abx = 0
Отримане рівняння можна переписати:
x 4 + 2ах 3 + 2а 2 x 2 - а 2 x 2 + b < sup> 2 - 2bх 2 - 2abx = 0.
Виключимо 2ах 3 + 2a 2 x 2 , скориставшись тим, що b = х 2 + ax :
2ах (х 2 + аx) = b2аx, 2ах 3 + 2a 2 x = 2abx.
Тоді x 4 + 2abx - а 2 x 2 + b 2 - 2bx 2 - 2abx = 0, x 4 - a 2 x 2 + b 2 - 2bx < sup> 2 = 0.
Тепер залишилося виключити x 2 ; з вихідного рівняння знайдемо: x 2 = b - ax і підставимо в останнє:
x 4 - (a 2 + 2b) x 2 + b 2 = 0, x 4 - (a 2 + 2b) (b - ax) + b 2 = 0, x 4 + (2ab + a 3 ) x = b 2 + a 2 b
Отримане рівняння четвертого ступеня має ті і тільки ті позитивні коріння, які були у вихідного квадратного.
Для знаходження тричленного рівняння третього ступеня Виет в якості вихідного брав рівняння
ax - x 2 = ab
і примножував його ліву і праву частини на х + b; це при водило до рівняння
(а - b) х 2 - х 3 = ab 2
з тими ж позитивними корінням, які були у квадратного.
І ще один приватний питання розглянув Виет. У Урава-неніі
ах m - x m + n = b
що має за умовою два кореня, ві...
