для рівнянь до п'ятого ступеня включно.
Переваги символіки надали Вієта можливість не тільки отримати нові результати, але і більш повно і обгрунтовано викласти всі відоме раніше. І якщо попередники Вієта висловлювали деякі правила, рецептури для рішень конкретних завдань і ілюстрували їх прикладами, то Виет дав повний виклад питань, пов'язаних з рішенням рівнянь перших чотирьох ступенів.
Розглянемо хід міркувань Вієта при вирішенні кубічного рівняння. p> Візьмемо рівняння x 3 + 3ax = 2b. Покладемо a = t 2 + xt. p> Знайдемо звідси
х = і підставимо у вихідне рівняння. Отримаємо + 3a = 2b, звідки для визначення t наводимо квадратне рівняння щодо t 3 : (T 3 ) 2 + 2bt 3 - а 3 == 0. p> Звідси визначиться t, а потім і х. Зауважимо ще, що підстановка а = t 2 + xt призводить вихідне рівняння до виду
(х + t) 3 - t 3 = 2b,
яке разом з рівнянням (х + t) t = a, (х + t) 3 t 3 = a 3 дало б можливість застосувати метод Тартальи і дель Ферро. Але Виет таким шляхом не пішов.
Розглянемо тепер приклад. Знайдемо методом Вієта дійсний корінь рівняння
х 3 + 24x = 56.
Тут а = 8, b = 28. Запишемо рівняння щодо t: (t 3 ) 2 + 56t 3 - 8 3 - 0.
Вирішимо його:
t 3 = -28 = - 28 36 t 1 == 2 t 2 == -4.
Знайдемо тепер х:
x 1 == -2 , X 2 == 2 = x 1 . p> При викладі методу Феррарі для вирішення рівняння четвертого ступеня Виет провів аналітично викладки, зазначені вище, і отримав рівняння, що містить основну невідому А і допоміжну Е (х і t у Феррарі).
Виет, вірний послідовник древніх, оперував тільки раціональними позитивними числами, які він позначав буквами. Якщо в результаті підстановки в рівняння значень параметрів невідоме чинився ірраціональним, він давав цієї нагоди особливе обгрунтування. p> Як приклад такого обгрунтування наведемо В«ГеометричнеВ» рішення кубічного рівняння за способом дель Ферро - Тартальи. p> У записі Вієта рівняння мало вигляд A 3 + 3BA = D.
Відоме рішення: А є різницею В«сторінВ» які утворюють площа В і різниця кубів яких дорівнює D. Якщо позначити В«сторониВ» літерами u і v, то uv = B, u 3 - u 3 = D, A = u -V. p> Виет надавав рішенню В«геометричнеВ» тлумачення; він замість D solidum записував твір У planum на D, тобто отримував рівняння A 3 + 3ВA = BD.
Потім він визначав чотири величини, що утворюють В«Геометричний рядВ», так, щоб прямокутник, побудований на середніх або на крайніх, за площею дорівнював В, а різниця крайніх була D. Тоді A буде різницею середніх. p> Пояснимо сказане. Позначимо ці чотири величини через z, u, v і t. Тоді мо...
