званих вузлами сітки. Для квадратаВ сіткову область можна побудувати наступним чином. Проведемо прямі. Безліч точок перетину цих прямих і складе сіткову область, а самі точки утворюють вузли сітки. Всяка функція, визначена на зсік, називається гратчастої функцією і позначається.
Другий крок у побудові різницевої схеми полягає в апроксимації диференціального виразу Lu деяким різницевим виразом, а функцію безперервного аргументу f - Сітковою функцією, тобто у побудову деякого різницевого аналога для даного рівняння, за даних крайових умовах.
Така апроксимація приводить до системи алгебраїчних рівнянь щодо значень деякої сіткової функції. Цю систему можна записати в наступному вигляді:
В
Де L h і П† h - різницеві оператори, апроксимуючі відповідно L і l; П… h - шукана сіткова функція, апроксимуюча рішення u; f h , П† h - задані сіточні функції, апроксимуючі f і П†.
Сукупність розносна рівнянь, апроксимуючих вихідну завдання - є різницева схема. Розглянемо їх докладніше на прикладах рівняння теплопровідності і коливання струни.
Різницеві схеми для вирішення рівняння теплопровідності (параболічний тип)
В
Розглянемо першу крайову задачу для рівняння теплопровідності в прямокутнику. Потрібно знайти безперервне у вирішення завдання:
В
В області введемо прямокутну рівномірну сітку {x n , t k } з кроком h = 1/N по координаті x і з кроком П„ = T/M по координаті t:
.
Похідні лівій частині рівняння апроксимуємо наступним різницевими виразами:
Відповідно до даної апроксимацією побудуємо два різницевих аналога рівняння з невідомою сітковою функцією П… hП„ :
Тут - значення деякої сіткової функції f hП„ , відповідної правої частини рівняння. Для першої різницевої схеми, а для другої -. p> Початкова та граничне умови для першої крайової задачі апроксимуються точно:
Для другої і третьої крайових задач граничні умови апроксимуються на основі різницевих виразів.
Вважаючи r = П„/h 2 отримаємо - для першої різницевої схеми, - для другої різницевої схеми. p> Аналіз показує, що похибка апроксимації схем є.
Різницеві схеми для вирішення рівняння коливання струни (гіперболічний тип)
Розглянемо першу крайову задачу для рівняння коливання струни в прямокутнику. Потрібно знайти безперервне у вирішення завдання:
В
Застосування методу кінцевих різниць до вирішення завдання по суті мало чим відрізняється від його застосування до рівняння теплопровідності. Область покривається сіткою. Відмінність полягає у наближенні другої похідної по змінній t:
. p> Різницева апроксимація приймає вигляд
.
Початкові умови апроксимуються наступним чином:.
Граничні умови апроксимуються т...
