ні на Г функції, причому П† 2 є твір коефіцієнта теплопровідності на температуру зовнішнього середовища, дотичної з тілом. p> Таким чином, крайова задача полягає в тому, щоб знайти класичне рішення рівняння Пуассона або Лапласа, яке задовольняє одному із граничних умов.
Змішана крайова задача. Розглянемо завдання поширення тепла в тонкому
стрижні одиничної довжини. Помістимо один з решт в точку x = 0, а інший - в точку x = 1. Розподіл температури в такому стрижні протягом деякого інтервалу часу 0
Граничне умова I роду (На кінці стрижня x = 0 заданна температура):. p> Граничне умова II роду (На кінці стрижня x = 0 задано тепловий потік):. p> Граничне умова III роду:В . p> Для іншого кінця стержня x = 1 праві частини граничних умов замінюються відповідно на П€ 0 (t), П€ 1 (t), П€ 2 (t). Зауважимо, що початкова й граничне умови повинні задовольняти так званим умовам сполучення, тобто за умови I роду u 0 (0) = П† 0 (0), за умови II роду u 0 x (0) = П† 1 (0), за умови III роду-u 0 < sub> x (0) + О»u 0 (0) = П† 2 (0). Аналогічні умови сполучення повинні виконаються і на іншому кінці стрижня x = 1. p> Сформулюємо одну з можливих крайових задач. Знайти класичне рішення рівняння, що задовольняє початковій умові і наступним граничним умовам. Ця задача звичайно називається першою крайової завданням для рівняння теплопровідності. Відповідно крайові задачі з граничними умовами II роди або III називаються другої і третьої крайової завданням для рівняння теплопровідності.
Метод кінцевих різниць (метод сіток)
В
Чисельні методи, засновані на різницевої апроксимації похідних називається різницевим методом, методом кінцевих різниць або методом сіток. p> Нехай заданно лінійне диференціальне рівняння, записане в символічному вигляді:. Тут u - шукане рішення рівняння; L - деякий диференційний оператор, скорочено позначає відповідну диференційну операцію; f - права частина рівняння (задана функція).
Для єдиного рішення даного рівняння до нього необхідно приєднати крайові умови:.
Різницевий метод вирішення цих двох завдань можна представити у вигляді двох етапів:
побудова різницевої схеми, апроксимуючої дану безперервну завдання;
отримання рішення різницевої задачі і оцінка похибки цього рішення.
Для побудови різницевої схеми першим кроком є заміна області безперервного зміни аргументів областю дискретного їх зміни - сітковою областю, т.е.множеством точок (x n , y m ), ...
