).
.2 Коники, описані близько трикутника
Зі шкільного курсу геометрії нам відомо, що близько будь-якого трикутника можна описати коло. Окружність називається описаної близько трикутника, якщо вона проходить через його вершини. При проектному перетворенні спосіб окружності є крива другого порядку. p align="justify"> Крива другого порядку, що містить вершини трикутника ABC, називається описаної біля цього трикутника.
Кожна крива другого порядку, описана близько трикутника, може бути отримана як ізогональний (або ізотоміческій) образ деякої прямої.
Лемма 2.2.1: Нехай Р і P - ізотоміческі зв'язані точки щодо трикутника АВС . Тоді пряма РP паралельна прямій НД якщо і тільки якщо центр коники, описаної близько АВС і що проходить через Р і < i> P лежить на медіані.
Доказ.
Коніку через п'ять точок провести можна (теорема ....). Припустимо, що пряма РP паралельна прямій НД . Тоді, оскільки Р і P - ізотоміческі сполучені, середина відрізка НД , точка A 0 буде також і серединою відрізка A p A m з кінцями в підставах відповідних чевіан (тому підстави чевіан симетричні щодо A 0 ). Тому медіана AA 0 буде перетинати відрізок РP в його середині P 0 . Отже, A 0 і - середини паралельних хорд коники. Значить, медіана, що містить точку P 0 , також буде проходити і через центр коники (у разі параболи - паралельно її осі). p> Теорема. 2.2.1. Гіпербола, описана близько трикутника, є равносторонней (тобто має перпендикулярні асимптоти) тоді і тільки тоді, коли на гіперболі лежить ортоцентр трикутника Н . p> Доказ. Нехай X , Y - дві точки нескінченно віддаленої прямої, направлення на які перпендикулярні. Проведемо через точки A і B прямі, паралельні напрямку на X , а через C і H - прямі, паралельні напрямку на Y . Нехай UV - діагональ утвореного цими прямими прямокутника, а B ? - Основа висоти трикутника, опущеної з точки B (рис. 2.2.2). Так як чотирикутники BB ? CV і AUB ? H вписані в окружності з діаметрами BC і AH ,? AB ? U =? AHU ,? VB ? C =? VBC . Але? AHU =? VBC як кути із перпендикулярними сторонами, значить, точки U , B ?, V лежать на одній прямій, і по зворотній теоремі Паскаля шестикутник AXBHYC вписаний в коника, тобто рівнобічна гіпербола
