p> Тепер розглянемо дві прямі l1 і l2 з різних родин. Нехай? - Площина, що проходить через l1 і деяку крапку? l2 P Вў l1 тому відповідне плоске перетин гіперболоїда, будучи по теоремі 1 кривої порядку не старше 2, повинно бути парою паралельних або пересічних прямих. Одна з них - l1 а інша - деяка прямолінійна твірна lP. Вона не співпадає і не схрещується з l1, тому, по доведеному, не може належати першого сімейства, а значить, належить другому, і в силу єдиності прямий другого сімейства, що проходить через Р, збігається з l2. br/>В
(зображений на малюнку 4)
В
Рис. 4 двуполостного гіперболоїд
Площина z = 0 не перетинає гіперболоїд і розділяє його на дві частини, звані порожнинами.
Теорема 4. Двуполостного гіперболоїд не має прямолінійних створюючих, Доказ. Прямолінійна твірна не може перетинати площину z = 0. Значить, вона лежить у площині z = z 0 . Але відповідне плоске перетин
В
обмежено (еліпс, точка або?) і не може містити пряму.
5.).
(зображений на малюнку 5а.).
В
Рис. 5 Конус другого порядку
Зауважимо, що рівняння однорідно (другого порядку); F (? x , ? y , ? z ) =?, 2 F (x, y, z), і таким чином, будь-яка пряма, що містить О і деяку іншу точку конуса, є прямолінійною твірною.
Визначення 5.Пусть Г - довільна крива, що у площині?, а точка О не належить?. Конічної поверхнею над Г з центром в О називається об'єднання всіх прямих виду ОХ, ХГ (малюнок 5 б). Прямі ОХ називаються твірними, а крива Г - направляючої конічної поверхні
В
Уявний конус не має жодної речовій точки (малюнок 6)
В
Рис. 6 уявний конус
Теорема 6. Конічна поверхня над еліпсом є конусом другого порядку. p align="justify"> Доказ. Виберемо таку систему координат з центром в О, що площина ? задається рівнянням z = h? 0 (малюнок 5 ст.). Якщо ми виберемо напрями осей Ох і Оу паралельно головним осях еліпса Г, то рівняння еліпса в площині ? прийме вигляд:
= (x, y) = a 11 (xx 0 ) 2 + a 22 (yy 0 )
