е інтегрування полягає в знаходженні інтеграла від неперервної функції по квадратурної формулою
,
де коефіцієнти a nk - справжні числа і вузли належать [ a, b ], k =1 , 2, ..., n . Вид суми визначає метод чисельного інтегрування, а різниця - похибка методу.
При цьому для методу прямокутників формула прийме вигляд:
,
де, x 0 =a , x k =x k - 1 + ( i +0,5) h, ( i =0,1,2, ... , n - 1).
Права частина формули прямокутників є інтегральною сумою і при прагнути до даного інтегралу. Однак, при фіксованому відрізняється від відповідного інтеграла на величину R n ( f ). За заданою граничною абсолютної похибки підбирається параметр, або, що те ж саме, крок h , при якому виконується нерівність | R n ( f ) | lt;.
Величина R n ( f ) (у припущенні існування входять до неї похідних) характеризується рівністю для методу прямокутників
, де [ a, b ].
У цьому і полягає метод обчислення певного інтеграла за формулою прямокутника.
2.3 Рішення диференціальних рівнянь методом Ейлера
Враховуючи ключову позицію, яку займає метод Ейлера в теорії чисельних методів загальних диференціальних рівнянь, розглянемо кілька способів його виведення. При цьому будемо вважати, що обчислення проводяться з розрахунковим кроком, розрахунковими точками (вузлами) служать точки ( i=0,1, ..., n ) проміжку і метою є побудова таблиці 1 наближених значень y i рішення у=y { x } завдання в розрахункових точках х i .
Таблиця 1
xx 0 x 1 ... xn? byy 0 y 1 ... yn? y (b)
наближених значень yi рішення у=у {х) завдання в розрахункових точках х i.
Геометричний спосіб. Користуючись тим, що в точці x 0 відомо значення рішення y ( x 0 )= y 0 , і значення його похідною можна записати рівняння дотичної до графіка шуканої функції у=у ( х ) в точці ( х 0 ; у 0 При досить малому кроці h ордината ця дотична, отримана підстановкою в праву частину значення, по безперервності повинна мало відрізнятися від ординати y ( x 1 ) рішення y ( x ) завдання.
Отже, точка (x1, y1) перетину дотичної (1,3) з прямою х=х1 може бути наближено прийнята за нову початкову точку. Через цю точку знову проведемо пряму, через цю точку знову проведемо пряму, яка вже наближено відображає поведінку дотичній до у=у ( х ) в точці ( х 1 ; у ( х 1 )). Підставляючи сюди х=х 2 (=х 1 + h ), інакше , перетинаючи цю «дотичну» прямий х=х 2 , отримаємо наближення значення у ( х 2 ) значенням, і т.д. У підсумку цього процесу, що визначається формулою, i =0,1,2 ..., n і званого методом Ейлера, графік вирішення у=у ( х ) даної задачі Коші наближеною представляється ламаної, складеної з відрізків наближених дотичних звідки походить інша назва - метод ламаних (малюнок 3)
Малюнок 3 - Графік рішення задачі Коші.
Модифікований методу Ейлера відрізняється тим, що ми розраховуємо кутовий коефіцієнт в точці з кроком h /2.
,
,
.
Таким чином, йде відбувається обчислення диференціальних рівнянь модифікованим методом Ейлера.
3. БЛОК-СХЕМА ПРОГРАМИ GLAV
3.1 Блок-схема модуля poldel (процедура poldel)
3.2 Блок-схема модуля integral (процедура integral)
3.3 Блок-схема модуля eiler (процедура myeiler)
4. ОПИС стандартні функції
Всі створювані модулі використовують процедуру Clrscr стандартного модуля Crt [4]. Зазначена процедура очищає екран і поміщає курсор у його верхній лівий кут. Діє процедура наступним чином: всі символи замінюються на пробіл з атрибутами, встановленими в даний момент. Наприклад, якщо колір фону TextBackground не чорне, то екран буде мати колір фону. Процедура виконується в тому вікні, в якому вона викликана. Наприклад, у випадку
Window (1,1,60,20);
Clrscr;
Буде очищено прямокутник 60 * 20, що починається в (1,1)
Наступні задіяні усіма створюваними модулями процедури: Write (), Writeln (), Read (), Readln () стандартного модуля System [5]....
