, знайти траєкторію руху точки [16, c.45].
Нехай - деяка невідома функція і т.д. її приватні похідні різного порядку.
Розглянемо рівняння
(1)
зв'язують незалежні змінні х, у, шукану функцію u (х, у) і її приватні похідні різного порядку. Рівняння (1) називають диференціальним рівнянням в приватних похідних.
Порядок рівняння визначається найвищим порядком приватної похідної, що входить в це рівняння.
Приклади.
) - диференціальне рівняння першого порядку.
) - диференціальне рівняння другого порядку і т.п.
Рішенням диференціального рівняння називається будь-яка функція u (х, у), звертає його в тотожність. Завдання, пов'язані з рішенням диференціального рівняння в приватних похідних, як правило, більш складні в порівнянні з завданнями для звичайних диференціальних рівнянь [18, c.180].
Ми знаємо, що спільне рішення звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку залежить від n довільних постійних С1, С2, ..., Сn. Більш складна ситуація складається при вирішенні диференціальних рівнянь в приватних похідних. Наприклад, рішенням диференціального рівняння є будь-яка функція тобто спільне рішення залежить від нескінченного числа функцій, що залежать тільки від однієї змінної
Або
Предмет теорії рівнянь в приватних похідних складає вивчення диференціальних рівнянь, що описують те чи інше явище природи, по перевазі фізичної. Наш курс буде присвячений переважно рівнянням в приватних похідних другого порядку.
У зв'язку з цим розглянемо деякі фізичні задачі, що приводять до вирішення диференціальних рівнянь в приватних похідних [5, c.58].
Теорія диференціальних рівнянь є одним з найбільших розділів сучасної математики. Щоб охарактеризувати її місце в сучасній математичній науці, насамперед, необхідно підкреслити основні особливості теорії диференціальних рівнянь, що складається з двох великих областей математики: теорії звичайних диференціальних рівнянь і теорії рівнянь з приватними похідними.
Перша особливість - це безпосередній зв'язок теорії диференціальних рівнянь з додатками. Характеризуючи математику як метод проникнення в таємниці природи, можна сказати, що основним шляхом застосування цього методу є формування і вивчення математичних моделей реального світу. Вивчаючи які-небудь фізичні явища, дослідник, насамперед, створює його математичну ідеалізацію або, іншими словами, математичну модель, тобто, нехтуючи другорядними характеристиками явища, він записує основні закони, що керують цим явищем, в математичній формі. Дуже часто ці закони можна виразити у вигляді диференціальних рівнянь. Такими виявляються моделі різних явищ механіки суцільного середовища, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ і ін [5, c.60].
Досліджуючи отримані диференціальні рівняння разом з додатковими умовами, які, як правило, задаються у вигляді початкових і граничних умов, математик отримує відомості про події явищі, іноді може дізнатися його минуле і майбутнє. Вивчення математичної моделі математичними методами дозволяє не тільки отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реального процесу, а й дає можливість проникнути в суть фізичних явищ, а іноді передбачити і нові фізичні ефекти. Буває, що сама природа фізичного явища підказує і підходи, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичної моделі є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.
Постановка задач для рівнянь в приватних похідних включає визначення самого рівняння (або системи декількох рівнянь), а також необхідної кількості крайових умов (число і характер завдання яких визначається специфікою рівняння). По своїй назві рівняння повинні містити приватні похідні невідомої функції та (або декількох функцій, якщо рівнянь кілька) за різними аргументам, наприклад просторової змінної х і часу t. Відповідно, для виконання завдання потрібно обчислити функцію декількох змінних, наприклад u lt; x, t) в деякій області визначення аргументів 0 lt; х lt; L і 0 lt; t lt; T. Граничні умови визначаються як задані часові залежності функції і, або похідних цієї функції на кордонах розрахункової області 0 і L, а початкові - як задана u (х, 0) [5, c.65].
Самі рівняння в приватних похідних (кілька умовно) можна розділити на три основні типи [5, c.68]:
параболічні (приклад:) - містять першу похідну по одній змінній і другу - за іншою, причому всі ці похідні входять в рівняння з однаковим знаком;
гіперболічні (приклад:) - містять першу похідну по одній змінній і другу - за іншою, що входять в рівняння з різними знаками;
еліптичні (приклад: 1.,) - містять тільки другі похідні, причому одного знака.
Деякі більш складні рівняння не можна однозначно підігнати під наведену класифікацію, тоді говорять про гібридних...
