відносній частці сприятливих випадків. Ймовірність події обчислюється як відношення числа сприятливих випадків до загального числа випадків:
, (1)
де - ймовірність події;- Загальне число випадків;- Число випадків сприятливих події.
Так як число сприятливих випадків завжди укладена між 0 і, то ймовірність події, обчисленого за формулою (1), завжди є раціональна правильна дріб:
.
Формула (1), так звана класична формула для обчислення ймовірностей.
Випадкова величина - це величина, яка в результаті досвіду може прийняти те чи інше значення, при цьому невідомо заздалегідь яке саме.
Випадкові величини, що приймають тільки окремі один від одного значення, називаються дискретними випадковими величинами.
Приклади:
1) Число влучень при трьох пострілах;
) Число дзвінків надійшли на телефонну станцію за добу;
) Частота влучень при 10 пострілах;
Випадкові величини, можливі значення яких безперервно заповнюють певний проміжок, називаються безперервними випадковими величинами.
Приклади:
) Абсциса крапки влучення при пострілі;
) Помилка зважування тіла на аналітичних вагах.
1.2 Функція розподілу і її властивості
дисперсія математичний числовий
Безперервна випадкова величина має незліченну безліч значень, суцільно заповнюють деякий проміжок, так зване незліченну безліч. Кожне окреме значення неперервної випадкової величини зазвичай не володіє ніякою відмінною від нуля ймовірністю. Різні області можливих значень випадкової величини все ж не є однаково ймовірними, і для безперервної величини існує розподіл ймовірностей.
Для кількісної характеристики цього розподілу ймовірностей зручно скористатися не ймовірністю події, а ймовірністю події, де - деяка поточна змінна. Імовірність цієї події, очевидно, залежить від, є деяка функція від. Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини і позначається:
Функцію розподілу іноді називають також інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу.
Загальні властивості функції розподілу:
.Функція розподілу іноді є неубутна функція свого аргументу, при.
2.
3.
Графік функції розподілу в загальному випадку являє собою графік неубивающей функції, значення якої починаються від 0 і доходять до 1, причому в окремих точках функція може мати скачки (рис. 1).
Рис. 1
1.3 Функція щільності розподілу
Нехай є випадкова величина c безперервної і дифференцируемой функцією розподілу. Обчислимо ймовірність потрапляння цієї випадкової величини на відрізок від до тобто приріст функції розподілу:
.
Розглянемо середню ймовірність (тобто відношення), що припадає на одиницю довжини на цій ділянці і будемо наближати до нуля. У межі отримуємо похідну від функції розподілу (далі).
.
Функція називається щільністю функції розподілу неперервної випадкової величини або диференціальним законом розподілу випадкової величини.
Похідна від функції розподілу характеризує щільність, з якою розподіляються значення випадкової величини в даній точці. Щільність розподілу, так само як і функція розподілу, є одна з форм закону розподілу. На противагу функції розподілу ця форма не є універсальною: вона існує тільки для неперервних випадкових величин.
Крива розподілу - графік зображає щільність розподілу випадкової величини.
Рис. 2
Рис. 3
Елемент ймовірності - ймовірність потрапляння випадкової величини з щільністю розподілу на елементарний ділянку, що примикає до точки. З погляду геометрії це площа елементарного прямокутника спирається на відрізок.
Ймовірність влучення випадкової величини на відрізок від до дорівнює сумі елементів на всій ділянці, тобто інтегралу виду:
.
Висловлюючи функцію розподілу через щільність, за визначенням отримуємо:
.
З цього випливає, що:
.
Геометрично є площею кривої розподілу, що лежить лівіше точки.
Основні властивості щільності розподілу:
1.
2.
Геометрично основні властивості щільності розподілу означають, що:
) Вся крива розподілу лежить не нижче осі абсцис;
) Повна площа, обмежена кривою розподілу з віссю абсцис дорівнює одиниці.
2. Числові...
