характеристики випадкових величин
.1 Математичне сподівання
Розглянемо дискретну випадкову величину, що має можливі значення з імовірностями. Нам потрібно охарактеризувати якимось числом становище значень випадкової величини на осі абсцис з урахуванням того, що ці значення мають різні ймовірності. Для цієї мети природно скористатися так званим середнім зваженим із значень, таким чином, ми обчислимо середнє значення випадкової величини, яке ми позначимо
Це середнє зважене значення називається математичним очікуванням.
Математичним очікуванням випадкової величини називається сума добутків всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.
Для безперервної величини математичне очікування виражається інтегралом:
Де - щільність розподілу величини.
Властивості:
1. Математичне сподівання постійної одно цієї постійної.
.
2. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.
.
З цього випливає, що математичне сподівання суми кінцевого числа випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.
.
.Математіческое очікування твори незалежних випадкових величин і дорівнює добутку математичних очікувань цих величин.
.
З цього випливає, що постійний множник можна винести за знак математичного очікування:
.
Модою випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення. Термін найбільш ймовірне значення, застосуємо тільки до перериваним величинам; для безперервної величини модою є те значення, в якому щільність ймовірності максимальна.
Медианой випадкової величини називається таке її значення, для якого однаково ймовірно, виявиться випадкова величина менше або більше.
.
2.2 Дисперсія
Дисперсією називається математичне очікування квадрата відхилення випадкових величин від математичного очікування:
Для безпосереднього обчислення дисперсії служать формули:
.
.
Дисперсія випадкової величини є характеристика розсіювання, розкиданості значень випадкової величини близько її математичного очікування.
Якщо звернутися до механічної інтерпретації, то дисперсія являє собою не що інше, як момент інерції заданого розподілу мас щодо математичного очікування.
Дисперсія випадкової величини має розмірність квадрата випадкової величини. Для наочної характеристики розсіювання зручніше користуватися величиною, розмірність якої збігається з розмірністю випадкової величини. Для цього з дисперсії витягують квадратний корінь. Отримана величина називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Середнє квадратичне відхилення позначається:
Деякі властивості дисперсії:
. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю.
. Постійну величину можна винести за знак дисперсії, попередньо звівши її в квадрат:
. Дисперсія суми незалежних випадкових величин і дорівнює сумі їх дисперсій:
.
З цього випливає якщо - випадкові величини, кожна з яких незалежна від суми решти, то
4.
2.3 Моменти
Початковим моментом - го порядку випадкової величини називається математичне очікування - ой ступеня цієї випадкової величини.
.
Початковим моментом - го порядку дискретної випадкової величини є сума виду:
.
Для неперервної випадкової величини початковим моментом - го порядку є інтеграл:
.
Висновок
Таким чином, в роботі були розглянуті основні поняття, пов'язані з безперервними випадковими величинами. Було показано, що випадкові величини можуть бути описані за допомогою функції щільності. Також було розглянуто питання про числові характеристики випадкових величин та їх властивості.
Література
1. Е.С. Венцтель «Теорія ймовірностей» - «Наука», 1969.
