мо перший вид наближеного обчислення:
потрібно обчислити визначений інтеграл:.
Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція y = f (x). Розділимо відрізок [a, b], аналогічно як у формулі трапецій: точками a = x0, x1, x2, ..., xn = b на n рівних частин довжини О”х, де О”х = (b-a)/n. p>
Рис. 4 - Формула прямокутників
В В
br/>
Позначимо через y0, y1, y2, ..., yn-1, yn значення функції f (x) в точках x0, x1, x2 ..., xn, тобто, якщо записати в наочної формулою:
Y0 = f (x0), y1 = f (x1), y2 = f (x2) ... yn, = f (xn).
У даному способі подинтегральную функцію замінюємо функцією, яка має ступінчастий вигляд. p> Складемо суми: y0О”x + y1О”x1 + y2О”x2 ... + yn-1О”x; Y1О”x + y2О”x + ... + ynО”x.
У результаті обчислень отримуємо кінцеву формулу прямокутників:
В
Формула трапецій
Візьмемо визначений інтеграл, де - безперервна подинтегральная функція, яку ми для наочності будемо припускати позитивною. При обчисленні інтеграла за допомогою формули трапецій подинтегральная функція f замінюється функцією, графік якої являє собою ламану лінію ланки якої з'єднують кінці ординат yi-1 і yi (i = 1,2, ..., n). <В
Рис. 5 - Формула трапецій
br/>
Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженою лініями x = a, x = b, y = 0, y = f (x), а значить (прямуючи з геометричного сенсу), і значення потрібного нам інтеграла, приблизно дорівнює сумі площ звичайних трапецій з підставами yi-1 і yi і висотою h = (ba)/n, так як (якщо звичніше виражати для нас) h це О”x, a О”x = (ba)/n при розподілі відрізка на n рівних відрізків за допомогою точок x0 = a
Рис. 6 - Розбиття трапеції
p> Площа крайньої смужки ліворуч дорівнює добутку півсуми підстави на висоту
Отже, запишемо сказане вище в математичному вигляді:
- це і є формула трапецій.
Формула Сімпсона (формула парабол).
Розділимо відрізок [a; b] на парне число рівних частин n = 2m. Площа криволінійної трапеції, відповідної першим двом відрізкам [x0, x1], [x1, x2] і обмеженою заданої кривої y = f (x), замінимо площею криволінійної трапеції, яка обмежена параболою другого ступеня, що проходить через три точки M0 [x0, y0], M1 [x1, y1], M2 [x2, y2] і має вісь, паралельну осі Oy (рис). Таку криволінійну трапецію будемо називати параболічної трапецією.
Рівняння паВ
раболи з віссю, паралельної осі Oy, має вигляд:. Коефіцієнти A, B і C однозначно визначаються з умови, що парабола проходить через три задані точки. Аналогічні параболи будуються і для інших пар відрізків. Сума параболічних трапецій і дасть наближене значення інтеграла. Спочатку обчислимо площа однієї параболічної трапеції. І продовжуючи обчислення, отримуємо формулу Сімпсона:
Тепер розглянемо методи рішення інтегралів за допомогою програми Matlab.
1.1 Чисельний метод
Обчислення визначених інтегралів.
Розглянемо приклад:В . p> У першу чергу необхідно створити функцію, яка обчислює підінтегральний вираз.
В
Для обчислення інтеграла викличемо функцію quad, задавши першим аргументом посилання на функцію fint, а другим і третім - нижній і верхній межі інтегрування. br/>В
Типово функція quad обчислює наближене значення інтеграла з точністю 10-6. [1, C.266] Для зміни точності обчислень слід задати додатковий четвертий аргумент:
В
Обчислення подвійних інтегралів.
У MATLAB визначена функція dblquad для наближеного обчислення подвійних інтегралів. Як і у випадку обчислення певних інтегралів, слід написати файл-функцію для обчислення подинтегрального вираження. Обчислимо інтеграл:
В
Отже, функція повинна містити два аргументи x і y:
В
Функція dblquad має п'ять вхідних аргументів. При її виклику необхідно врахувати, що першими задаються межі внутрішнього інтеграла по х, а другими - зовнішнього по у:
В
Інтеграли, залежать від параметра.
Функції quad і quadl дозволяють знаходити значення інтегралів, залежних від параметрів. Аргументами функції, що обчислює підінтегральний вираз, повинна бути не тільки змінна інтегрування, а й усі параметри. Значення...
