fy"> Кожна людина, навіть нескінченно далекий від математики, зустрічався і, більше того, - вирішував найпростіші діофантови рівняння, сам того не знаючи. Дійсно, вони служать математичною моделлю до багатьох завдань, що виникають на побутовому рівні.
Завдання № 1
На складі є ящики з цвяхами, масою по 16, 17 і 40 кг. Чи зможе комірник видати 100 кг цвяхів, не розкриваючи ящиків?
Рішення:
Легко помітити, що 17 кг + 17кг +16 кг=50 кг. Тоді, що б видати 100 кг (в 2 рази більше) необхідно взяти 4 ящика по 17 кг і 2 ящика по 16 кг.
Відповідь: Так, зможе.
Тут нам пощастило: рішення звелося до простого перебору, а відповідь виявилася очевидним. Розглянемо ще одну задачу:
Завдання № 2
У загоні знаходяться одноглаві стоноги і триглаві змії. Всього у них 298 ніг і 26 голів. Скільки ніг у трехглавих змій?
Рішення:
Нехай в загоні було х стоногів, і y Гориничів, причому у кожного змія по p ніг. Відразу ж обмовимося, що кожна з цих змінних повинна бути цілою і позитивною. Тоді:
+ 3y=26x=26-3yx=26-3yx=26-3y
x + py=29840x + py=298120y - 742=py p=120-742/y
x gt; 026-3y gt; 0y? 8 y? 8
y gt; 0 p gt; 0p gt; 0 120-742/y gt; 0 gt; 0y gt; 0y gt; 0y gt; 0
x=26-3y у=7
p=120-742/yТогда: х=5
y? 8p=14? 7 y=8
y gt; .0 x=2
p=27,25
Тоді:
Так як p ціле, то p=27,25 нам не підходить.
Відповідь: 14.
Ця задача була дещо складніше першою, але шляхом введення обмежень на змінні ми змогли звузити перебір всього до двох випадків. Йдемо далі:
Завдання № 3
Потрібно розлити 20,5 літри соку на банки по 0,7 літра і 0,9 літра так, щоб всі банки виявилися повними. Скільки яких банок треба заготовити? Яку найменшу кількість банок при цьому може знадобитися?
Рішення:
Нехай xколічество банок по 0,7 літра, а у - 0,9 літра. Тоді складемо рівняння:
, 5=0,7x + 0,9y;
x + 9y=205.
Очевидно, що прямий перебір чисел в лоб займе багато часу. А в світі немає місця для некрасивою математики © Г. Харді.
Розглянемо метод вирішення подібних рівнянь, а потім повернемося безпосередньо до нашого завдання і доробимо її.
Метод розсіювання
діофантових рівнянь має вигляд: (x1, x2 ... xn)=0, де P - цілочисельних функція, а змінні xi приймають цілі значення. Вирішуючи задачу № 2, ми зіткнулися з рівнянням виду ax + by=c, де a, b і з цілочисельні коефіцієнти, а x і у - змінні, що приймають тільки цілі значення. Це - лінійне диофантово рівняння з двома невідомими.
Загальний метод для вирішення таких рівнянь виник в Індії в XII столітті. Його поява була викликана астрономічними запитами і календарними
розрахунками. Перші натяки на спільне рішення діофантових рівнянь зробив Аріабхатт. Сам же метод був створений Бхаскару і Брахмагупта. Зараз він відомий як метод розсіювання. Розберемо його на прикладі:
Приклад № 1: Знайти всі цілі рішення рівняння 19х - 8У=13.
Рішення:
Висловимо у через х (так як коефіцієнт при у найменший) і виділимо цілу частину:
у=(19x - 13)/8=(3х - 13)/8 + 2х
Вираз (3х - 13)/8 має бути цілим. Позначимо його k.
Тоді 8k=3x - 13. Повторимо приділення вище операцію:
x=(8k + 13)/3=2k + (2k + 13)/3=(2k + 13)/3. Тоді 3h=2k + 13,=(3h - 13)/2=(h - 13)/2 + h=(h - 13)/2. Тоді 2p=h - 13. h=13 + 2p
З рівності (4) очевидно, що h приймає цілі значення при будь-яких цілих значеннях p.
Шляхом послідовних підстановок (4) знаходимо вирази для невідомих: k=13 + 3p, x=39 + 8p і, нарешті, у=91 + 18p.
Відповідь: (39 + 8p; 91 + 18p).
Тепер, володіючи достатнім запасом знань, повернемося до задачі № 3.
х + 9У=205;
х=29 + (2-9у)/7; нехай t=(2-9у)/7, де t - ціле число;
t=2-9y; t=(2-2y)/7-y; нехай (2-2y)/7=p, де p - ціле число;
- y=7k, де kцелое; y=1-7k, де k - ...
