ціле число. Тоді x=28 + 9k.
x gt; 0; 28 + 9k gt; 0; k?- 3.
y gt; 0; 1-7k gt; 0; k? 0.
Тобто kможет приймати значення: - 3, - 2, - 1,0.
x + y=1-7k + 28 + 9k; x + y=29 + 2k.
Тобто найменшій кількості банок відповідає найменше k.
(x + y) найменше=29-6=23.
Відповідь: (28 + 9k; 1-7k), де kпрінімает значення - 3, - 2, - 1,0. Найменша кількість банок 23.
Завдання на розкладання числа
Варто зауважити, що текстові задачі, що зводяться до знаходження числа, знаю його подільники та залишки, займають особливе, почесне місце, серед текстових завдань з даної теми. Вони ж і найбільш складні, а значить цікаві. Розглянемо деякі з них.
Селянка несла на базар кошик яєць. Необережний вершник, обганяючи жінку, зачепив кошик, і всі яйця розбилися. Бажаючи відшкодувати збиток, він запитав у селянки, скільки яєць було в кошику. Вона відповіла, що число яєць не знає, але коли вона розкладала їх по 2, по 3, по 4, по 5 і по 6, то кожного разу одне яйце залишалося зайвим, а коли вона розклала по 7, зайвих яєць не залишилося. Яку найменшу кількість яєць могла нести селянка на базар?
Рішення: Позначимо за n шукане кількість яєць, тоді складемо систему рівнянь:
=2a + 1 n - 1=2a (1)=3b + 1 n - 1=3b (2)=4c + 1 n - 1=2 * 2c (3)=5d + 1 n - 1=5d (4)=6e + 1 n - 1=2 * 3e (5)=7fn=7f
З рівнянь (1), (2), (3), (4), (5) випливає, що число n - 1=2 * 3 * 2 * 5k, де kцелое;
n - 1=60k; n=60k + 1.
При підстановці отриманого n в (7) рівняння отримуємо: 60k + 1=7f.
f=(60k + 1)/7=(4k + 1)/7 + 8k;=(4k + 1)/7, де rцелое, (1)
7r=4k + 1; 4k=7r - 1; k=(3r - 1)/4 + r;=(3r - 1)/4, де sцелое
3r - 1=4s; 3r=4s + 1; r=(s + 1)/3 + r;=(s + 1)/3, де u ціле, тоді
s + 1=3u; s=3u - 1,
тобто s завжди приймає цілі значення при будь-якому целочисленном u. Шляхом послідовних підстановок отримуємо:
r=4u - 1; k=7u - 2; f=420u - 119.
Очевидно, що при u=1, f приймає найменше позитивне значення, а саме 301.
Відповідь: 301.
* Слід зауважити, що не обов'язково сліпо слідувати цим алгоритмом до самого переможного кінця. Фактично, в рамках умови задачі, нам не обов'язково відшукувати всі можливі цілі значення k: достатньо лише одного, найменшого. І вже після (1) перетворення очевидно, що шукане нами k одно 5, а значить f=60 * 5 + 1=301.
Припустимо, що є деяка кількість туристів. Розбивши їх на трійки, отримуємо в залишку 2, розбивши на п'ятірки - 3, розбивши на сімки - 2. Скільки туристів у групі, якщо всього їх число не перевершує 100 чоловік.
Нехай всього було k туристів. Тоді:
=3a + 2 k=3a + 2=5b + 3 5b + 3=3a + 2=7c + 2 7c + 2=3a + 2
І тут очевидна частина нашого рішення заходить у глухий кут. Що б з нього вийти необхідно згадати, що:
1) a * b + c? c (moda)? c (modb). Наприклад, 15? 1 (mod 7), тобто число 15 дає в залишку 1 при діленні 7.
2) a * b + d? c (modr)? a * b? c-d (modr)? b? a (c-d) (modr)? a? b (c-d) (modr). Тоді:
=3a + 2 k=3a + 2 k=3a + 2
a + 2? 3 (mod 5) 3a=1 (mod 5) a? 3 (mod 5)
a + 2? 2 (mod 7) 3a=0 (mod 7) 3a? 0 (mod7)
=3a + 2 k=3a + 2=3 + 5p, гдеpцелоеa=3 + 5p
+ 15p? 0 (mod 7) p=- 135 (mod 7)
=3a + 2 k=3a + 2k=105d - 2 014=3 + 5pa=35d - 672 a=35d - 672=- 135 + 7d, гдеdцелоеp=- 135 + 7dp=- 135 + 7d
Отже, k=105d - 2014. Якщо d=20, то k=86, якщо d lt; 20, то k lt; 0, якщо d gt; 20, то k gt; 100. Відповідь: 86.
Давайте спробуємо надати їй практичну корисність, наприклад, виведемо загальну формули для екскурсовода для підрахунку туристів. Нехай r1, r2, r3 залишки при діленні загального числа туристів на групи по 3, 5,7 відповідно, а загальна кількість туристів як і раніше не буде перевищувати 100 чоловік. Аналогічнорассуждая, отримуємо:
=3a + r1 3a? (r2-r1) (mod 5) a=3 (r2-r1) + 5d, гдеdцелое=5b + r2 3a + r1=7c + r39r2-8r1 + 15d? r3 (mod 7)=7c + r3k=3a + 1 k=3a + 1
a=3 (r2-r1) + 5d d=15 (r3-9r2 + 8r1) + 7p, де p ціле
d? 15 (r3-9r2 + 8r1) (mod 7) a=3 (r2-r1) + 5d
