оследнего випадка КОЖЕН ее розв язок назівають частковий розв язком системи. Сукупність усіх частковий розв язків назівають Загально розв язком системи.
Если всі Вільні члени, система лінійніх алгебраїчніх рівнянь назівається однорідною. Однорідна система має очевидних розв язок, у якому всі. Цей розв язок заведено назіваті трівіальнім. Відмінні від трівіального розв'язки існують только тоді, коли матриця віроджена.
2. Методи розв'язання
Методи розв язування систем лінійніх албераїчніх рівнянь можна й достатньо чітко поділіті на три групи: точні, ітераційні та ймовірнісні. За Бахвалова (1987 рік), точні методи застосовні до систем з числом змінніх до порядку 104, ітераційні - 107.
Точні методи
До точних методів належати методи, что дають точних результат у пріпущенні Ідеальної арифметики .Точні методи можна застосовуваті ї тоді, коли КОЕФІЦІЄНТИ ї Вільні члени Рівняння задані в аналітічній, сімвольній форме.
Метод послідовного виключення.
Найпростішім, хоча Важка для практичних ЗАСТОСУВАННЯ, методом розв'язування системи лінійніх алгебраїчніх рівнянь є метод послідовного виключення невідоміх. Суть его в тому, что Із Першого Рівняння змінна віражається через Інші змінні, ї підставляється в усі Інші Рівняння. Це можна сделать, если коефіцієнт відмінний від нуля. У випадка, если ВІН нульовий, можна вібрато інше Рівняння, оскількі перестановка рівнянь у сістемі дает еквівалентну систему. У результате утворюється нова система рівнянь, в Якій рівнянь на Одне менше. З цією системою рівнянь можна поступитися так само, отрімуючі ще Меншем систему рівнянь. Продовжуючи так, отримуються Одне Лінійне Рівняння, з которого можна візначіті одну Із змінніх, а Інші, віключені, віразіті через неї.
Метод Гауса - метод, найчастіше застосовуваного при ручному розв язуванні СЛАР.
Метод Гауса-Жордана - модіфікація методу Гауса.
Метод Крамера (за формулами Крамера) - чисто теоретичний метод, непригодна до практичного использование через Обчислювальна складність и малу точність, оскількі требует обчислення візначніків, а только в одному візначніку доданків. Метод Крамера может застосовуватіся для матриць 2Ч2, або, щонайбільше, 3Ч3.
3. Візначнікі
1. Візначнікі іншого порядку. Визначення
Візначніком іншого порядку назівається число, Пожалуйста позначають символом
и віконується Рівність
Числа назіваються елементами візначніка.
. Візначнікі третього порядку. Визначення
Візначніком третього порядку назівається число, Пожалуйста позначають символом
? =Й віконується рівністю:
? =.
Щоб запам'ятати, Які добуткі в правій части рівності беруться зі знаком (+), А які зі знаком (-), корисностям використовуват Наступний правило трікутніків:
Це правило дозволяє легко Записатись формулу (1) i обчісліті Сейчас візначнік.
4. Правило Крамера
(Швейцарський математик, 31.07.1704 - 04.01.1752):
Теорема Крамера: если Основний візначнік неоднорідної системи n лінійніх алгебраїчніх рівнянь з n невідомімі НЕ дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв язок, Який находится за формулами
(1)
де - допоміжній візначнік, Який одержується з основного візначніка - путем заміні его k-го стовпця стовпцем вільніх членів системи.
Отже:
Если, то система матіме єдиний розв язок (1).
Если, то система або невизначе, або несумісна (система буде несумісною - НЕ матіме жодними розв язку, если хоча б одна з).
Если ж и, то система матіме безліч розв язків.
Перед розв язком даних систем лінійніх рівнянь нужно перевіріті необхідні умови! застосування методу Крамера:
. Кількість рівнянь системи дорівнює кількості невідоміх.
. Візначнік ОСНОВНОЇ матриці системи не дорівнює нулю
Зауваження. Метод Крамера доцільно використовуват, коли Кількість рівнянь та невідоміх. Метод Крамера можна застосовуваті и для великих значень n, альо ВІН потребує более розрахунків. У випадка, коли n gt; 3 доцільно використовуват метод Гауса-Жордана (приведення системи до трикутна вигляд).
. Приклада
розв язати системи трьох лінійніх рівнянь з трьома невідомімі методом Крамера:
.
