деформируемая пластина з усередненими по товщині параметрами.
Виконується пошук характеристик напружень і переміщень під покриттям з використанням інтегральних перетворень Фур'є.
При виборі засобів створення програм для розрахунків і засобів побудови графічних інтерпретацій отриманих результатів обчислень, переваги були віддані середах Compaq Visual Fortran 6.5 і Maple15.
1. Основні співвідношення теорії оболонок і теорії пружності
. 1 Загальні поняття теорії пружності
Теорія пружності - розділ механіки суцільних середовищ, що вивчає деформації пружних твердих тіл, їх поведінка при статичних та динамічних навантаженнях.
Головне завдання теорії пружності - з'ясувати, якими будуть деформації тіла, і вивчити, як вони будуть мінятися з часом при заданих зовнішніх впливах.
У рамках теорії лінійної пружності досліджується напружено-деформований стан пружного середовища.
Механічне поведінку ідеально пружного середовища у введеної ортогональної декартовій системі координат ( х 1 , х 2 , х 3 ) описується за допомогою узагальненого закону пружності - закону Гука. Надалі будуть використані позначення х 1 = x , х 2 = y , х 3 = z . Напруга, до якого справедливий закон Гука, називають межею пропорційності . Для ізотропного середовища можна вважати, що лінійні деформації залежать тільки від нормальних напружень, а кутові - тільки від дотичних:
,
,
,
,,.
Тут , , - лінійні відносні деформації; , , - нормальні напруження; ,, - Кутові деформації (деформації зсуву); , , - дотичні напруження; Е - модуль пружності першого роду (модуль Юнга);- Модуль пружності другого роду (модуль зсуву); n - коефіцієнт поперечної деформації Пуассона. Вони пов'язані між собою лінійною залежністю
Механічне стан пружного тіла, що займає в початковому стані відомий обсяг V з обмежує поверхнею S , характеризується компонентами тензора деформації e ij і тензора напружень s ij . Переміщення в точках тіла, під дією заданої системи поверхневих і об'ємних сил, описуються вектором переміщень u= { u 1 , u 2 , u 3 } і являє собою безперервні і однозначні функції координат і часу. Механічне стан пружно тіла характеризується також вектором напруг t = { t 1 , < i> t 2 , t 3 }, що виникають у пружному тілі на деякій елементарній площадці з нормаллю. Вектор t виражається через компоненти тензора напружень t i = s ij n j , i= 1,2,3.
У лінійній теорії пружності переміщення, деформація і напруги пов'язані рівняннями руху [1]
, i= 1,2,3, ...,
співвідношеннями узагальненого закону Гука
, i, j= 1,2,3, ...
і геометричними співвідношеннями Коші
, i, j= 1,2,3.
Тут - вектор розподілу об'ємних сил, x = { x 1 , x 2 , x 3 } - радіус-вектор заданої точки, r ( х) і заданий розподіл щільності і коефіцієнтів пружності матеріалу. У однорідних тіл коефіцієнти пружності і щільність r - константи.
У изотропном випадку, коли пружні властивості однакові у всіх напрямках, закон Гука має вигляд
, (1.1.1)
де, - відносна зміна обсягу, - символ Кронекера.
Вектор напруг t , враховуючи співвідношення (1.1), виражається через переміщення t = T u , де Т - лінійний диференціальний оператор напруг. У изотропном випадку
.
Коливання однорідної пружного середовища (в переміщеннях) описуються рівняннями Ляме
, (1.1.2)
де l , m - константи Ляме, r - щільність середовища, вектор переміщень.
Зміни в поле зміщень, викликані деякими зовнішнім обуренням, наприклад, прикладеної навантаженням, поширюються по всьому об'єму V з деякою кінцевою швидкістю за певними законами. Такий процес розповсюдження збурень називається поширенням п...
