p> враховуючи що
,,
перераховуємо згідно з формулою, отримуємо
.
Отже
.
Але такий вид магнотодіпольной енергії незручний для подальших обчислень. Розглянемо вінтеровское наближення (). У нульовому наближенні магнітодіпольная енергія дорівнює нулю. Перерозподіливши, ми можемо записати енергію анізотропії:
.
квазіупругая доданок, необхідне для фіксації доменної структури. Збираючи (1.1) - (1.4), отримуємо (без урахування магнітодіпольной енергії -):
. (1.5)
. Приведення квадратичної форми до діагонального вигляду
У загальному випадку квадратична форма має вельми складну вираз, діагоналізації її з урахуванням представляє дуже важке завдання. Для системи в стані рівноваги, що відповідає мінімуму енергії відповідно до (1.5) рівноважний розподіл дається (1.2). Якщо ж систему виводять з цього стану, то виникають коливання намагніченості в кожній точці феромагнетика. Уявімо енергію збудження у вигляді енергії магнонов і обчислимо спектр збуджень. Вводимо бозе-оператори народження - і знищення, підпорядковуючи їх комутативним співвідношенням:
;
;
;
. (2.1)
Для операторів,, використовуємо уявлення Хольштейн-Примакова:
; ;.
У цьому випадку
.
Але так як в нульовому наближенні, то маємо
; ; (2.2)
При обліку подальших доданків в розкладанні за ступенями (що справедливо взагалі кажучи, для великих значень) виникають більш високі ступені операторів. Для їх правильного запису в необхідно ввести впорядкування лівіше в це робиться за допомогою комутаційних співвідношень:
. 1.
.
У виразах,, відкинемо доданки ступеня:
;
;
.
-
обмінна взаємодія
Перегруппіруем доданки і представимо у вигляді:
,
де
,
.
Покладемо. Перегрупувавши доданки в, отримуємо:
спінової хвиля феромагнетик доменний
.
Перейдемо до безрозмірних змінних,. Використовуємо:
,
.
Представити на даному етапі нам заважають додаткові доданки виду, які не дають можливості назвати енергію магнонов. Тому нам слід діагоналізіровать.
Переходимо до фур'є-поданням в площині.
, (2.3)
Оператори і підкоряються комутативним співвідношенням:
.
Підставляючи (2.3) в, знаходимо:
.
Проинтегрируем по і. Так як () ортогональні. То в сумі залишаться доданки тільки с. Позначимо, отримуємо:
(2.4)
;;.
Необхідно діагоналізіровать гамильтониан (2.4). Представивши його у вигляді:
(2.5)
З новими операторами і, які подчиним комутативним співвідношенням:
;, (2.6)
і не залежними від.- Оператор числа магнонов с;- Відповідна енергія. У рішенні залежність випливає з рівняння руху:
,
(2.7)
Причому
Введемо рівняння руху для операторів:
(2.8)
.
,
,
.
Тоді
.
Інтегруючи, знаходимо
;
.
Таким чином, рівняння руху для має вигляд:
. (2.9)
Для приведення (2.9) до (2.7), а - до діагонального вигляду (2.5), задамо канонічне перетворення:
(2.10)
З (2.5) і (2.6) випливає:
(2.11)
Отже, і підпорядковуються рівнянням:
(2.12)
Уявімо їх у вигляді:
,
якщо і комутують, то рівняння для і мають однаковий вигляд, тобто і відрізняються на якийсь множник:
. (2.13)
У нашому випадку
де - лінійний оператор, такий що. Перепишемо рівняння (2.12) з урахуванням (2.13):
(2.14)
Так як ці рівняння мають співпадати,
.
Звідси
.
Підставляючи в (2.15), отримуємо:
або
. (2.16)
Це рівняння має обмежене на нескінченності рішення за умови, коли дужка дорівнює нулю, тобто
Так як
,
то звідси отримуємо для енергії:
.
. Знаходження спектра елементарних збуджень
Рішення рівняння (2.16) аналогічно рішенню рівняння Шредінгера для потенціалу
:
де
,.
...
