хилення від елемента має -ий поліном Фур'є елемента .
Доведення . Будемо розглядаті только Дійсний евклідовій простір. Тоді, вікорістовуючі Властивості скалярного добутку и ортонормованість системи, маємо
. (4)
Звідсі видно, что мінімум правої части (4) досягається при (під сумою стоит квадратний трічлен як функція).
Теорема 2 . Если - ортонормована система в евклідовому пространстве , то при будь-якому и для шкірного віконується
(5)
и справедлива нерівність Бесселя , тобто
Доведення . Справді, (5) віпліває Із (4), а остання нерівність є наслідком (5) .4
Система, евклідового простору назівається ПОВНЕ в если для шкірного и шкірного знайдеться такий поліном вигляд (3), для которого. Іншімі словами, система,, назівається ПОВНЕ в, если для шкірного знайдеться послідовність поліномів вигляд (3), для якої
. (6)
Теорема 3 . Если ортонормована система в евклідовому пространстве є ПОВНЕ в , то для шкірного елемента справедлива Рівність Парсеваля (аналог теореми Піфагора)
. (7)
Доведення . Це віпліває Із (5) та (6), бо
.
Теорема 4. Если ортонормована система є ПОВНЕ в евклідовому пространстве , то для шкірного елемента его ряд Фур'є (1) збігається в до , тобто
. (8)
Доведення . Ця теорема віпліває Із (5) i попередньої теореми, бо
.
Теорема 5. Если - ортонормована система в евклідовому пространстве , и для Деяк існує послідовність поліномів вигляд (3) така, что віконується (6), то для цього елемента справедліві рівності (7) і (8).
Доведення. Це віпліває Із (5) та (6).
Система назівається ортогональні, если
Вивчення ортогональної системи зводу до Вивчення ортонормованої системи.
Теорема 6 (Рісса-Фішера). Если - ортонормована система гільбертового простору и - послідовністіь комплексних (дійсніх, если Дійсний ) чисел таких, что , то існує такий елемент , что и справедлива Рівність Парсеваля .
Доведення. Маємо. Із збіжності ряду (2) i повнотіла віпліває збіжність в послідовності до Деяк елемента и за теореми 4 справедлива Рівність Парсеваля.
4. Базису в нормованому пространстве
Система елементів банахових простоїть назівається базисом цього простору, если Кожний елемент Єдиним чином розвівається в збіжній в ряд
. (1)
безпосередно Із Означення віпліває, что Кожний базис є ПОВНЕ системою, но не навпаки. Например, за теореми Вейєрштрасса система є ПОВНЕ в, но НЕ є базисом в цьом пространстве, бо не нашкірна функція, неперервно (і даже не нашкірна нескінченно діференційовна функція) подається у виде суми рівномірно збіжного на ряду
.
Теорема 1. Если - ортонормована система гільбертового простору , ряд (1) є збіжнім в до , то его КОЕФІЦІЄНТИ знаходяться за формулою .
Доведення . Справді,
,
если. Тому, ВРАХОВУЮЧИ, что ряд (1) є збіжнім в і скалярних добуток є неперервно функцією, отрімуємо
,
звідки віпліває Потрібний Висновок.
Теорема 2 . Нехай - ортонормована система гільбертового простору . Тоді следующие умови є еквівалентнімі: 1) система є ПОВНЕ в пространстве ; 2) система є базисом простору ; 3) для шкірного справедлива Рівність Парсеваля .
Доведення . Ця теорема є безпосереднім наслідком теореми 1 і теорем попередня пункту.
Приклад 1. Система елементів
...,
є ортонормованих в и є базисом цього простору. Справді, ортонормованість цієї системи встановлюється безпосередно перевіркою. Далі, для елемента маємо Тому ряд є збіжнім. Отже, ряд такоже є збіжнім в до Деяк елемента . Покажемо, что . Справді,
5. Трігонометрічній ряд Фур'є в
Теорема 1. Трігонометрічна система
(1)
