) приймає вигляд:
,
не має межі, ряд розходиться.
,
- кінцеве число, ряд сходиться.
,
- ряд розходиться.
Отже, даний ряд сходиться при і розходиться при.
Приклад 2. Ряд виду
(1.3)
називається гармонійним.
Запишемо часткову суму цього ряду:
.
Сума більше суми, представленої таким чином:
або
.
Якщо, то, або.
Отже, якщо, то, тобто гармонійний ряд розходиться.
Приклад 3. Ряд виду
(1.4)
називається узагальненим гармонійним.
Якщо, то даний ряд звертається в гармонійний ряд, який є розбіжним.
Якщо, то члени даного ряду більше відповідних членів гармонійного ряду і, значить, він розходиться. При маємо геометричний ряд, в якому; він є збіжним.
Отже, узагальнений гармонійний ряд сходиться при і розходиться при.
. 3 Необхідний і достатні ознаки збіжності
Необхідна ознака збіжності ряду.
Ряд може сходитися тільки за умови, що його загальний член при необмеженому збільшенні номера прагне до нуля:.
Якщо, то ряд розходиться - це достатній ознака расходимости ряду.
Достатні ознаки збіжності ряду з позитивними членами.
Ознака порівняння рядів з додатними членами.
Досліджуваний ряд сходиться, якщо його члени не перевершують відповідних членів іншого, свідомо сходиться ряду; досліджуваний ряд розходиться, якщо його члени перевершують відповідні члени іншого, свідомо розходиться ряду.
Ознака Даламбера.
Якщо для ряду з додатними членами
виконується умова, то ряд сходиться при і розходиться при.
Ознака Даламбера не дає відповіді, якщо. У цьому випадку для дослідження ряду застосовуються інші прийоми.
Вправи.
Записати ряд по його заданому загальному члену:
;
;
.
Рішення.
Вважаючи,,, ..., маємо нескінченну послідовність чисел:
,,. Склавши його члени, одержимо ряд
.
Поступаючи так само, одержимо ряд
.
Надаючи значення 1,2,3, ... і враховуючи, що,,, ..., одержимо ряд
.
Знайти n-ий член ряду за його даними першого членам:
;
.
Рішення.
Знаменники членів ряду, починаючи з першого, є парними числами; отже, n-ий член ряду має вигляд.
Чисельники членів ряду утворюють натуральний ряд чисел, а відповідні їм знаменники - натуральний ряд чисел, а відповідні їм знаменники - натуральний ряд чисел, починаючи з 3. Знаки чергуються за законом або за законом. Значить, n-й член ряду має вигляд. або.
Дослідити збіжність ряду, застосовуючи необхідний ознака збіжності та ознака порівняння:
;
;
.
Рішення.
Знаходимо
.
Необхідна ознака збіжності ряду виконується, але для вирішення питання про збіжність потрібно застосувати один з достатніх ознак збіжності. Порівняємо даний ряд з геометричним поруч
,
який сходиться, так як.
Порівнюючи члени даного ряду, починаючи з другого, з відповідними членами геометричного ряду, отримаємо нерівності
т.е. члени даного ряду, починаючи з другого, відповідно менше членів геометричного ряду, звідки випливає, що даний ряд сходиться.
Маємо
.
Тут виконується достатня ознака расходимости ряду; отже, ряд розбігається.
Знаходимо
.
Необхідна ознака збіжності ряду виконуєт...
