ься. Порівняємо даний ряд з узагальненим гармонійним поруч
,
який сходиться, оскільки, отже, сходиться і даний ряд.
Дослідити збіжність ряду, використовуючи ознака Даламбера:
.
Рішення.
Підставивши в загальний член ряду замість n число n + 1, отримаємо. Знайдемо межа відносини -го члена до n-му члену при:
.
Отже, даний ряд сходиться.
Маємо
Значить, даний ряд розходиться.
,
т.е. ряд розходиться.
2. Знакозмінний ряд
. 1 Поняття знакозмінного ряду
Числовий ряд
називається знакозмінним, якщо серед його членів є як позитивні, так і негативні числа.
Числовий ряд називається Знакозмінні, якщо будь-які два стоять поруч члена мають протилежні знаки.
,
де для всіх (тобто ряд, позитивні і негативні члени якого слідують один за одним по черзі). Наприклад,
;
;
.
Для Знакозмінні рядів має місце достатній ознака збіжності (встановлений в 1714г. Лейбніцем в листі до И.Бернулли).
2.2 Ознака Лейбніца. Абсолютна і умовна збіжність ряду
Теорема (Ознака Лейбніца).
Знакозмінні ряд сходиться, якщо:
Послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно убуває, тобто ;
Загальний член ряду прагне до нуля:.
При цьому сума S ряду задовольняє нерівностям
.
Зауваження.
Дослідження Знакозмінні ряду виду
(з негативним першим членом) зводиться шляхом множення всіх його членів на до дослідження ряду.
Ряди, для яких виконуються умови теореми Лейбніца, називаються Лейбніцевскіе (або рядами Лейбніца).
Співвідношення дозволяє отримати просту і зручну оцінку помилки, яку ми допускаємо, замінюючи суму S даного ряду його часткової сумою.
Відкинутий ряд (залишок) являє собою також Знакозмінні ряд, сума якого по модулю менше першого члена цього ряду, тобто. Тому помилка менше модуля першого з відкинутих членів.
Приклад. Обчислити приблизно суму ряду.
Рішення: даний ряд Лейбніцевскіе типу. Він сходиться. Можна записати:
.
Взявши п'ять членів, тобто замінивши на
, зробимо помилку, меншу,
чим. Отже,.
Для знакозмінних рядів має місце наступний загальний достатній ознака збіжності.
Теорема. Нехай дано знакозмінний ряд
.
Якщо сходиться ряд
,
складений з модулів членів даного ряду, то сходиться і сам знакозмінний ряд.
Ознака збіжності Лейбніца для Знакозмінні рядів служить достатньою ознакою збіжності Знакозмінні рядів.
знакопеременность ряд називається абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд, складений з абсолютних величин його членів, тобто всякий абсолютно сходитися ряд є збіжним.
Якщо знакозмінний ряд сходиться, а складений з абсолютних величин його членів ряд розходиться, то даний ряд називається умовно (неабсолютно) збіжним.
. 3 Вправи
Дослідити на збіжність (абсолютну або умовну) Знакозмінні ряд:
;
Рішення.
Члени даного ряду за абсолютною величиною монотонно убувають:
і
Отже, згідно ознакою Лейбніца, ряд сходиться. З'ясуємо, чи сходиться цей ряд абсолютно або умовно.
Ряд, складений з абсолютних величин даного ряду, є гармонійним поруч, який, розходиться. Тому даний ряд сходиться умовно.
Рішення.
Члени даного ряду за абсолютною величиною монотонно убувають:
, але
.
Ряд розходиться, так як ознака Лейбніца не виконується....
