о сімейства кривих.
2) Замінити в отриманому рівнянні на - і отримати диференціальне рівняння ортогональних траєкторій.
) Вирішити нове диференціальне рівняння і знайти алгебраїчне рівняння сімейства ортогональних траєкторій.
Глава 3. Приклади розв'язання задач
Приклад 1 . Знайти ізогональние траєкторії пучка прямих з центром у початку координат: y=ax. Нехай кут перетину?, tg? =k.
Позначимо поточні координати точки траєкторії через (x, y) ; кутовий коефіцієнт дотичної до траєкторії в цій точці буде.
Маємо:
= a, ;
замінюючи його значенням a , яке, в силу рівняння сімейства, одно, отримуємо (опускаючи індекси):
, або
Це рівняння є однорідним рівнянням, і для його вирішення застосуємо підстановку
y=ux, dy=udx + xdu . (2)
Підставляючи вираз (2) в рівняння (1), отримуємо
xdu-ku2dx-kxudu-kdx=0
або після угруповання членів
x (1-ku) du-k (1 + u2) dx=0 . (3)
У рівняння (3) поділяємо змінні
Інтегруємо:
або
Враховуючи, що і, надаємо рівнянню (4) вид
або
Переходячи до полярних координат, т. е. вважаючи x=r cos? , y=r sin? , знаходимо, що ізогональнимі траєкторіями є логарифмічні спіралі
Якщо
,
то маємо:
,
або
звідки
,
т. е. ми отримали сімейство кіл.
Рис. 1
Приклад 2. Знайти ортогональні траєкторії сімейства прямих ліній y=Cx, де С - параметр.
Рішення. Запишемо диференціальне рівняння для заданого сімейства прямих y=Cx. Диференціюючи останнє рівняння по змінній x, отримуємо C.
Виключимо параметр З із системи рівнянь:
? =
Отримали диференціальне рівняння для вихідного пучка прямих ліній. Замінюючи в ньому на -, отримаємо диференціальне рівняння ортогональних траєкторій:
=або=-
Вирішимо отримане диференціальне рівняння і визначимо алгебраїчне рівняння сімейства ортогональних траєкторій:
=-?-
ydy=- xdx? =-?
+ C? +=C?
+=2C
Замінюючи 2С на ми бачимо, що ортогональні траєкторії для даного сімейства прямих являють собою концентричні (що мають загальний центр) окружності (рис.2)
Рис.2
Приклад 3. Знайти рівняння ортогональних траєкторій сімейства гіпербол xy=C.
Рішення. Запишемо диференціальне рівняння для заданого сімейства гіпербол
y =.
Диференціюючи останнє рівняння по змінній x, отримуємо
y? =-.
Виключимо параметр З із системи рівнянь:
? ?=
Отримали диференціальне рівняння для вихідного сімейства гіпербол. Замінюючи в ньому на -, отримаємо диференціальне рівняння ортогональних траєкторій:
=або=
Вирішимо отримане диференціальне рівняння і визначимо алгебраїчне рівняння сімейства ортогональних траєкторій:
=? ? ydy=xdx? =? + C
і тому
=C.
В останньому рівнянні замінили 2С просто на С.
Значить, сімейством ортогональних траєкторій для сімейства гіпербол
xy=C
є сімейство гіпербол
=C,
отримується з даного поворотом на навколо початку координат (рис.3).
Рис. 3
Приклад 4. Знайти ізогональние траєкторії сімейства прямих ліній y=Cx, де С - параметр.
Рішення. Диференціальне рівняння сімейства прямих ліній
має вигляд
=.
Замінимо в ньому на, одержимо
=?
xy?- Kx=y + kyy?
y? (x - ky)=y + kx?
y? =?
Отримали однорідне рівняння і для його вирішення застосуємо підстановку
y=ux, dy=udx + xdu.
Отримуємо
xdu - kdx - kxudu- xdx=0.
Групуємо члени, маємо
x (1 - ku) du - k (1 +) dx=0.
Поділяємо змінні, маємо
du -=0.
Інтегруємо:
-
Отримуємо:
arctgu + lnC -...
