ункція визначена в деякій околиці точки, включаючи саму точку, називається безперервної в цій точці, якщо
(1)
Зауваження 1. Таким чином, згідно з визначенням 20.1. межа функції та її значення в точці рівні.
Визначення 2
Функція f (x) неперервна в точці тоді і тільки тоді, коли для будь-якій послідовності з деякої околиці точки, сходящейся до, відповідна послідовність сходиться к.
Визначення 3
неперервна в точці тоді і тільки тоді, коли:
.
Рис. 1
Нехай.
Тоді величина називається приростом аргументу.
називається приростом функції.
Перетворимо формулу (1):
. (2)
Визначення 4.
Функція f (x) називається неперервною в точці, якщо її приріст в цій точці є нескінченно малою функцією при
Зауваження 2. Визначення 1-4 еквівалентні.
Диференційовність функції в точці, зв'язок з безперервністю
Визначення 5. Функція називається диференційованою в точці, якщо її приріст в цій точці можна представити у вигляді
(3)
де А - деяке число, не залежне від, а - функція аргументу є нескінченно малою при.
Встановимо зв'язок між диференційовних функцій в точці та існуванням похідної в цій же точці.
Теорема 1. Для того щоб функція була диференційована в необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну.
Таким чином, для функції однієї змінної дифференцируемость і існування похідною - поняття рівносильні. Тому операцію знаходження похідної часто називають диференціюванням.
Встановимо зв'язок між поняттям дифференцируемости та безперервності.
Теорема 2. Якщо функція диференційовна в точці, то вона неперервна в цій точці.
Зауваження 3. Зворотне твердження невірно. Функція може бути безперервною в точці, але не бути дифференцируемой, тобто не мати похідної в цій точці.
Наприклад, функція неперервна в точці, але похідної в цій точці не має. Дійсно,
.
Якщо функція має похідну в кожній точці деякого проміжку, то будемо говорити, що функція диференційовна на даному проміжку.
1.2 Поняття похідної
При вирішенні різних завдань геометрії, механіки, фізики та інших галузей знання виникла необхідність за допомогою одного і того ж аналітичного процесу з даної функції y=f (x) отримувати нову функцію, яку називають похідною функцією (або просто похідної) даної функції f (x) і позначають символом
(4)
Той процес, за допомогою якого з даної функції f (x) отримують нову функцію f '(x), називають диференціюванням і складається він з наступних трьох кроків: 1) даємо аргументу x прирощення D x і визначаємо відповідне приріст функції D y=f (x + D x) -f (x); 2) складаємо ставлення
(5)
) вважаючи x постійним, а D x|0, знаходимо
, (6)
який позначаємо через f '(x), як би підкреслюючи тим самим, що отримана функція залежить лише від того значення x, при якому ми переходимо до межі.
Визначення 6.Проізводной y =f (x) даної функції y=f (x) при даному x називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, якщо, звичайно, ця межа існує, тобто кінцевий. Таким чином,
, або (7)
Зауважимо, що якщо при деякому значенні x, наприклад при x=a, ставлення
(8)
при D x|0 не прагне до кінцевого межі, то в цьому випадку говорять, що функція f (x) при x=a (або в точці x=a) не має похідної або НЕ дифференцируема в точці x=a.
Геометричний зміст похідної
Розглянемо графік функції у=f (х), диференційованою в околицях точки x 0
рис. 2
Розглянемо довільну пряму, що проходить через точку графіка функції - точку А (x 0, f (х 0)) і перетинає графік в деякій точці B (x; f (x)). Така пряма (АВ) називається січною. З? АВС: АС =? X; НД =? У; tg? =? y /? x.
Так як АС || Ox, то? ALO =? BAC =? (як відповідні при паралельних). Але? ALO - це кут нахилу січної АВ до позитивного напрямку осі Ох. Значить, tg? =K - кутовий коефіцієнт прямої АВ.
Тепер будемо зменшувати? х, тобто ? х? 0. При цьому точка В буде наближатися до точки А за графіком, а січна АВ буде повертатися. Граничним становищем січної АВ при? Х? 0 буде пряма (a), звана дотичної до графіка функції у=f (х) в точці А.
Якщо перейти до межі при? х? 0 в рівності tg? =? y /? x, то отримаємо або tga=f (x0), так як a-кут нахилу дотичної до позитивному напрямку о...
