сі Ох, за визначенням похідної. Але tga=k - кутовий коефіцієнт дотичної, значить, k=tga=f (x0).
Отже, геометричний зміст похідної полягає в наступному:
Похідна функції в точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції, проведеної в точці з абсцисою x0.
Фізичний зміст похідної
Розглянемо рух точки по прямій. Нехай задана координата точки в будь-який момент часу x (t). Відомо (з курсу фізики), що середня швидкість за проміжок часу [t 0; t 0 +? t] дорівнює відношенню відстані, пройденого за цей проміжок часу, на час, тобто Vср =? X /? T. Перейдемо до межі в останній рівності при? T? 0. limVср (t)=n (t 0) - миттєва швидкість у момент часу t 0,? T? 0. а lim =? X /? T=x (t 0) (за визначенням похідної). Отже, n (t)=x (t).
Фізичний зміст похідної полягає в наступному: похідна функції y=f (x) в точці x 0 - це швидкість зміни функції f (х) в точці x 0
Похідна застосовується у фізиці для знаходження швидкості за відомою функції координати від часу, прискорення за відомою функції швидкості від часу. u (t)=x (t) - швидкість, a (f)=n (t) - прискорення, або a (t)=x (t). Якщо відомий закон руху матеріальної точки по колу, то можна знайти кутову швидкість і кутове прискорення при обертальному русі:? =? (t) - зміна кута від часу,? =? (t) - кутова швидкість,? =? (t) - кутове прискорення, або? =? (t).
Якщо відомий закон розподілу маси неоднорідного стрижня, то можна знайти лінійну щільність неоднорідного стрижня: m=m (х) - маса, x? [0; l], l - довжина стрижня, р=m '(х) - лінійна щільність. З допомогою похідної вирішуються завдання з теорії пружності і гармонійних коливань. Так, за законом Гука F=-kx, x - змінна координата, k- коефіцієнт пружності пружини. Поклавши? 2=k/m, отримаємо диференціальне рівняння пружинного маятника х (t) +? 2 x (t)=0, де? =? K /? M частота коливань (l/c), k - жорсткість пружини (H/m). Рівняння виду у +? 2 y=0 називається рівнянням гармонійних коливань (механічних, електричних, електромагнітних). Рішенням таких рівнянь є функція у=Asin (? T +? 0) або у=Acos (? T +? 0), де А - амплітуда коливань,?- Циклічна частота,? 0 - початкова фаза.
Похідні вищих порядків
Поряд з похідної функції f (x) часто виникає потреба у розгляді похідної функції. Вона називається другої похідної функції f (x). Похідна є швидкість зміни функції. Тому друга похідна є швидкість зміни швидкості зміни функції або, друга похідна є прискорення зміни функції.
Похідна від другої похідної називається третім похідною або похідною третього порядку; похідна від третього похідною - похідною четвертого порядку і т.д. Похідна порядку п від функції f (х) позначається f (n) (х).
Перша похідна функції f (x) має ясний геометричний зміст. Вона є кутовий коефіцієнт дотичної, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної коси абсцис (рис. 3).
Рис. 3
Друга похідна є швидкість зміни кутового коефіцієнта дотичній. Позитивність другої похідної на деякому інтервалі означає, що кут, утворений дотичною з віссю абсцис, зростає зі збільшенням x. Геометрично це означає, що графік спрямований опуклістю вниз. Якщо ж друга похідна негативною на деякому інтервалі, то на ньому графік розташований опуклістю вгору. На рис. 5 інтервал завдання функції розбитий на ділянки, на кожному з яких друга похідна зберігає знак (цей знак вказано на малюнку). Точки, в яких графік змінює напрямок опуклості, називаються точками перегину. точки А1, А2, А3на рис. 5). При переході через точку перегину друга похідна змінює знак.
Наочно видно, що якщо в деякій точці перша похідна дорівнює нулю, а друга позитивна (точки В1 і В2 на рис. 5), то в цій точці функція має мінімум, так як в такій точці дотична до графіка горизонтальна і опуклість спрямована вниз. Відповідно якщо перша похідна в точці дорівнює нулю, а друга негативна, то в цій точці має місце максимум (точки С1 і С2 на рис. 5).
Якщо=0 і, то функція f (x) досягає в точці х0 мінімуму; якщо ж=0 і f" (x0) lt; 0, то функція має в цій точці максимум. Розглянемо випадок, коли і=0 і f//(х0)=0,
Припустимо, що функція f (x) має в точці х=x0n послідовних похідних, причому всі вони, аж до (n - 1) в цій точці звертаються в нуль:
(9)
але. Розкладемо прирощення f {x) -f (x0) функції f (x) за ступенями різниці х - х0 за формулою Тейлора з додатковим членом у формі Пеано.
Так до всі похідні порядків менших, ніж n, рівні в точці х0 нулю, то
(10)
Так як при, при достатній близькості x до х0 знак суми в чисельнику буде збігатися зі знаком f {n) (x0) як для х lt; х0, так і для x gt; x0. Розглянемо два випадки:
) n - непарне число: n=2k + 1. При переході від значень x до x0, менших, ніж х...
