i> x , ((y)) = О» < sub> 1 y , отримаємо
( О» 1 x , y) = ( x , О» 2 y ) . Винесемо числа О» 1 і О» 2 , за знак скалярного твори, перенесемо доданки вліво і розкладемо на множники: ( О» 1 - О» 2 ) (x, y) = 0
Оскільки О» 1 в‰ О» 2 , одержуємо (x, y) = 0, що й означає взаємну ортогональность векторів x і y.
Зазначимо інші важливі властивості симетричного оператора.
1) Характеристичне рівняння симетричного оператора має тільки дійсні корені.
2) Якщо в евклідовому просторі R n заданий симетричний оператор, то в R n існує ортонормованій базис e 1 , e 2 , ..., e n , складений з власних векторів.
3) Якщо всі власні числа О» 1 , О» 2 , ..., О» n симетричного оператора позитивні, то ((x), x)> 0 для будь-якого ненульового вектора x.
Позитивні матриці
Квадратна речова матриця A = (a ij ) називається позитивною, якщо всі її елементи додатні: a ij > 0. p> Теорема Перрона (окремий випадок теореми Перону-Фробеніуса): Позитивна квадратна матриця A має позитивне власне значення r, яке має алгебраїчну кратність 1 і строго перевершує абсолютну величину будь-якого іншого власного значення цієї матриці. Власному значенню r відповідає власний вектор e r , всі координати якого суворо позитивні. Вектор e r - єдиний власний вектор A (з точністю до множення на число), що має невід'ємні координати.
Список літератури
1. Арутюнов Ю.C. та ін Висшая.математіка: Методичні вказівки та контрольні завдання (з програмою) для студентів-заочників інженерно-технічних спеціальностей вузів. 3-е изд. М.: Вища. шк., 2005. 144 с. p> 2. Вища математика: Програма, методичні вказівки та контрольні завдання для студентів-заочників ііжеіеріо-техііческіх спеціальностей сільськогосподарських вузів. 4-е вид., Перераб. М.: Висш.шк., 2005. 110 с. p> 3. Мироненко Є.С. Вища математика: методичні вказівки і контрольні завдання для студентів-заочників інженерних спеціальностей вузів. М.: Вища. шк., 2008. 110 с. p> 4. Зіміна О.В. та ін Вища математика. 2-е вид., Испр. М.: Фізматліт, 2009. 368 с. (Решебіік). br/>
