або, як наслідок,
. (1.12b)
2. Характеристики системи двох Випадкове величин
Система двох Випадкове величин з достатності точністю может Характеризувати початкова та центральними моментами компонент порядку, Які є числами и того назіваються чисельного характеристиками, и умовно початкова та центральними моментами компонент порядком, Які є функціямі можливіть значення компонентів.
Початкові та центральні моменти означаються рівностямі
(2.1а)
(2.1б)
Найбільш ВАЖЛИВО среди них є математичне сподівання компонент, дісперсії компонент та кореляційній момент.
Математичні сподівання компонент означаються так:
(2.2а)
(2.2б)
Зх Використання математичних сподівань компонент Початкові та центральні момент система двох Випадкове величин можна означіті більш зручне способом:
, (2.3а)
, (2.3б)
(- центровані компоненти);
Дісперсії компонент означаються тотожня
, (2.4а)
; (2.4б)
Кореляційній момент характерізує лінійній зв'язок между Випадкове величинами. ВІН означається як центральний момент и позначається:
, (2.5)
(2.6)
Кореляційній момент часто назівають коваріацією и позначається.
Зх Використання кореляційного моменту и коефіцієнта кореляції 3-у властівість дісперсії (3.3.2.7) можна Узагальнити на випадок суми (різніці) довільніх Випадкове величин:
. (2.7)
Доведення .
В В
.
.
Для незалежних Випадкове величин кореляційній момент дорівнює нулю:
.
Доведення .
В
.
Абсолютна величина кореляційного моменту Випадкове величина не перевіщує середньогеометрічного Значення дісперсій:
(2.8)
Доведення . Дісперсія віпадкової Величини дорівнює
. (1 *)
Дійсно:
,
,
В
.
За зазначену дісперсія невід'ємна, тому з (1 *)
В
Звідки
. (2 *)
Аналогічно, дісперсія віпадкової Величини дорівнює
,
Звідки
. (3 *)
Нерівності (2 *) та (3 *) рівносільні одній нерівності
=.
Зх Означення кореляційного моменту слідує, что его розмірність дорівнює добутку розмірностей Випадкове величин. Іншімі словами, величина (точніше, число, Яку візначає Цю величину) кореляційного моменту поклади від одиниць вімірювання Випадкове величин. Цього недоліку немає коефіцієнт кореляції , Який візначається відношенням кореляційного моменту Випадкове величин и добутку середньоквадратічніх відхілень компонент та:
(2.9)
Абсолютна величина коефіцієнта кореляції НЕ перевіщує одініці:
. (2.10)
Нерівність (2.10) очевидна, ЯКЩО розділіті нерівність (2.8) на.
Дві віпадкові Величини X та Y назівають корельованих , ЯКЩО їх коефіцієнт кореляції НЕ дорівнює нулю І, відповідно, некорельованімі, ЯКЩО коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Дві віпадкові корельовані Величини обов'язково залежні. (З умови Одразу слідує, что, а для незалежних величин кореляційній момент обов'язково дорівнює нулю). Залежні Величини могут буті як корельованих, так и некорельованімі.
Приклад 2.1. Двовімірна Випадкове величина задана Густиня сумісного розподілу:
.
Довести, что віпадкові Величини X та Y - залежні некорельовані величину.
Доведення . Звітність, довести, что та . З прикладові 1.7. Густиня розподілу компонент
В В
Видно, что, а це означає, что віпадкові Величини X та Y залежні. Математичні сподівання розподілів компонет І як симетричний розподілів. З врахування цього, з Означення кореляційного моменту (2.5)
,
(інтегралі від непарних функцій у симетрично границях дорівнюють нулю), а це и означає, что залежні віпадкові Величини X та Y некорельовані.
Незалежні віпадкові Величини обов'язково некорельовані. Некорельовані віпадкові Величини могут буті як Незалежності, так и перелогових. Прото, некорельовані віпадкові велічіні Із Нормальних розподілом у сукупності
(2.11)
обов'язково незалежні (та - математичні сподівання Випадкове величин та.
Доведення Если (некорельованість Випадкове величин), то (2.11) переходити у
В В
(незалежність Випадкове величин).
Зх Використання сумісного розподілу системи Випадкове величин та моментів можна строго довести Властивості математичного сподівання віпадкової Величина (3.3.1.5) та (3.3.1.6)
Доведення 3-ї Властивості математичного сподівання . За зазначен...
