Если висота прямокутніків є значення в кінцевіх точках Частинами iнтервалiв (рис. 2.2), то
(2)
Можна довести, что похібка набліженої формули зменшіть, ЯКЩО висота прямокутніків взяти Значення Функції в точках (середини відрізків, (рис. 2.3); тоді
(3)
Формули (1) - (3) назіваються формулами прямокутніків.
2. Формула трапецій . Замінімо криве f (х) НЕ ступінчатою лiнiєю, як у попередня випадка, а Ламанов (рис. 2.3), сполучівші сусiднi точки (). Тоді площа кріволiнiйної трапеції набліжено дорівнюватіме сумі площ прямокутна трапецій, обмежених вгорі вiдрiзкамі цієї ламаної.
В
рис. 2.3 рис. 2.4
Площа k -ї трапеції дорівнює, де і -
основи трапеції, а - = - ее висота. Тому
(4)
Формула (4) назівається формулою трапецій.
3. Формула Сiмпсона . Во время Виведення формули трапеції криве, яка є графіком функцій у = f (х), замінювалі Ламанов лiнiєю. Щоб дістаті точнішій результат, замінімо Цю криве іншою кривою, Наприклад параболу.
Покажемо спочатку, что через три рiзнi точки, Які не лежати на одній прямій, можна провести позбав одну параболу.
Справді, підставляючі в рівняння параболи координати завданні точок, дістанемо систему рівнянь:
(5)
Визначник Якої
,
оскількі числа за умів рiзнi. Отже, ця система має єдиний розв'язок, тоб коефiцiєнті a , b i c параболи візначаються однозначно.
Зокрема, розв'язуючі систему (5) для точок А (- h ;), В (0;), С ( h ; ), дістанемо
В
В
рис. 2.5 рис. 2.6
Знайдемо площу S кріволiнiйної трапеції, обмеженої парабола, яка проходитиме через точки А, В, С, и Пряму х =-h, х = h, y = 0 (рис. 2.5):
В
Розглянемо тепер кріволiнiйну трапецію, обмеженності кривою у = f (х) (рис. 2.6). Если через точки цієї крівої провести параболу, то за формулою (6)
(7)
Однак, ЯКЩО вiдрiзок [a; b] й достатньо квартальна, то формула (7) матіме велику похібку. Щоб збільшити точність, розіб'ємо вiдрiзок [a; b] на хлопцеві число 2n Однаково частин, а кріволiнiйну трапецію - на n Частинами кріволiнiйніх трапецій. Застосовуючі до кожної з ціх трапецій формулу (7), дістанемо
В
Додамо почленно ці набліжені рiвностi:
В
Ця формула назівається формулою парабол або формулою Сiмпсона. Формули (1), (2), (3), (4) i (8) назіваються Квадратурна.
Різніцю между лівою i правою Частинами квадратурної формули назівають ее Залишкова членом i позначають через. Абсолютна похібка квадратурної формули, очевидно, поклади від числа n - кiлькостi Частинами вiдрiзкiв, на Які розбівається вiдрiзок інтегрування [а; b]. Наведемо формули, Які дозволяють, по-перше, оцінюваті абсолютні похібкі квадратурних формул, ЯКЩО задано n, І, по-друге, візначаті число n так, щоб обчісліті завдань інтеграл з наперед заданість точністю.
Если функція f (х) має на вiдрiзку [а; b] неперервно похідну i, то абсолютна похібка набліженіх рівностей (1) - (4) оцінюється формулою
(9)
Для функцій f (x), Які мают другу неперервно похідну І, віконується нерівність
(10)
яка справедлива для формул прямокутніків и трапецій.
Абсолютна похібка в набліженій рівності (8) оцінюється формулою
(11)
Если функція f (x) має на відрізку [a; b] четверту неперервно похідну и то для формули Сiмпсона справедлива оцінка:
(12)
В
Приклад:
1. Обчісліті інтеграл.
Це інтеграл від біноміального діференціала, Який у Елементарна функціях НЕ обчіслюється. Обчіслімо его набліжено. Розіб'ємо відрізок [0; 1] на 10 рівніх частин точками. p> Знайдемо Значення Функції в ціх точках:
В
За формулою прямокутніків маємо
В
Оскількі то залишкова член формули прямокутніків
В
Отже, І = 1,069900,03536.
За формулою трапецій (4) дістанемо
В
Оскількі, то залишкова член формули трапецій
В
Отже, І = 1,090610,00236.
За формулою Сiмпсона (2n = 10)
В
Оскількі то залишкова член формули Сiмпсона
В
Таким чином, І = 1,089490,000012, тоб формула Сiмпсона однозначно точніша формули прямокутніків и трапецій.
Невласні інтегралі. Ознакой збіжності невласніх інтегралів
Раніше Було введено визначеня інтеграл як границю інтегральніх сум, передбачаючі при цьом, что вiдрiзок інтегрування скiнченній, а пiдiнтегральна функція на цьом вiдрiзку обмеже. Если хочай б одна з ціх умів порушується, то наведення Вище Означення визначеного інтеграла становится непрійнятнім: у випадка нескінченного проміжку ...
