інтегрування его НЕ можна Розбита на п Частинами вiдрiзкiв скiнченної Довжина, а у випадка необмеженої Функції інтегральна сума явно не має скiнченної границі. Узагальнюючі Поняття визначеного інтеграла на ці випадка, пріходімо до невласного інтеграла - інтеграла від Функції на НЕОБМЕЖЕНИЙ проміжку або від необмеженої Функції. p> 1. Невласні інтегралі з нескінченнімі межами інтегрування (невласні інтегралі Першого роду).
Нехай функція f (х) Визначи на проміжку [ a ;) и інтегрована на будь-якому відрізку [ a ; b ], де. Тоді, ЯКЩО існує скінченна границя
(13),
ее назівають невласнім інтегралом Першого роду и позначають так:
(14)
Таким чином, за Означена
(15)
У цьом випадка інтеграл (14) назівають збіжнім, а підінтегральну функцію f ( x ) - інтегрованою на проміжку ( а; + ) .
Если ж границя (13) НЕ існує або Нескінченна, то інтеграл (14) назівають такоже невласнім альо розбіжнім, а функція f ( x ) - неінтегровною на [ a ;) .
Аналогічно інтегралу (15) означається невласній інтеграл на проміжку [; b ):
(16)
Невласній інтеграл з двома нескінченнімі межами візначається рівністю
(17)
де з - Довільне число. Отже, інтеграл Зліва у Формулі (17) існує або є збіжнім позбав тоді, коли є збіжнімі Обидва інтегралі праворуч. Можна довести, что інтеграл, визначеня формулою (17), що не залежиться від Вибори числа с.
З наведенням Означена видно, что невласній інтеграл НЕ є границею інтегральніх сум, а є границею означенность інтеграла Із змінною межею інтегрування.
Зауважімо, что коли функція f ( x ) неперервно и невід'ємна на проміжку [ A ;) и кіль інтеграл (16) збігається, то природно вважаті, что ВІН віражає площу необмеженої области (рис. 3.1)
В
рис. 3.1
Приклад:
Обчісліті невласній інтеграл або Встановити его розбіжність
В
а) За формулою (15) маємо
В
Отже інтеграл а) збігається.
б)
Оскількі ця Кордон не існує, то інтеграл б) розбіжній.
У Розглянуто прикладах обчислення невласного інтеграла ґрунтувалося на его означенні. Прото у Деяк випадка немає необхiдностi обчіслюваті інтеграл, а Достатньо знаті, збіжній ВІН чи ні. p> Теорема 1. Если на проміжку Функції f ( x ) i g ( x ) неперервні и задовольняють умову, то Із збіжності інтеграла
В
(18)
В
віпліває збіжність інтеграла
В
, (19)
В
а Із розбіжності інтеграла (19) віпліває розбіжність інтеграла (18).
наведіть теорема має Простий геометричність Зміст (рис. 3.2); ЯКЩО площа більшої за розмірамі необмеженої области є скiнченне число, то площа меншої области є такоже скiнченне число; ЯКЩО площа меншої области Нескінченно велика величина, то площа більшої области є такоже Нескінченно велика величина.
В
рис. 3.2
Приклад:
Дослідіті на збіжність інтеграл
оскількі:
В
и інтеграл збігається, то за теоремою 1 завдань інтеграл такоже збігається.
Теорема 2. Если існує границя то інтегралі (18) і (19) або одночасно Обидва збігаються, або одночасно розбігаються.
Ця ознака iнодi віявляється зручнішою, чем теорема 1, бо НЕ потребує перевіркі нерiвностi .
Приклад:
Дослідіті на збіжність інтеграл
В
оскількі інтеграл br/>
збігається І,
то завдань інтеграл такоже збігається.
У теоремах 1 і 2 розглядалісь невласні інтегралі від невід'ємніх функцій. У випадка, коли пiдiнтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.
Теорема 3. Если інтеграл збігається, то збігається й інтеграл.
Приклад:
Дослідіті на збіжність інтеграл:
тут підінтегральна функція знакозмінна; оскількі
,
то завдань інтеграл збігається.
Слід зауважіті, что Із збіжності інтеграла НЕ віпліває, взагалі Кажучи збіжність інтеграла. Ця обставинні віправдовує Такі Означення.
Если разом з інтегралом збігається й інтеграл, то інтеграл назівають абсолютно збіжнім, а функцію - абсолютно інтегровною на проміжку.
Если інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл назівають умовно (або неабсолютно) збіжнім.
Тепер теорему 3 можна перефразуваті так: абсолютно збіжній інтеграл збігається.
Отже, для знакозмінної Функції вікладені тут міркування дають змогу Встановити позбав Абсолютним збiжнiсть інтеграла. Если ж невласній інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глібокі ознакой збiж...
