ном, шукана площа дорівнює 1/2 кв.ед. Проведене обчислення, явно невигідне через свою громіздкість, знайомить з операцією, складовою сутність певного інтеграла.
Приклад 2.
Обчислити площа, обмежену параболою y = x 2 , віссю Ox і прямий x = 1.
Рішення.
1). Розбиваючи відрізок інтегрування [0, 1] на n рівних частин, отримаємо такі ж абсциси точок ділення, як у прикладі 1.
2). У кожному з часткових відрізків виберемо знову праві кінці:
В
Так як f (x) = x 2 , то
В
і доданки інтегральної суми виразяться у вигляді
В
3). Інтегральна сума
В
Вміщена в дужках сума квадратів перших n чисел натурального ряду може бути перетворена за формулою, що доводиться в елементарної алгебри:
В
Звідси
В
4). Перехід до межі інтегральної суми при n в†’ в€ћ дає S = 1/3. Таким чином, шукана площа дорівнює 1/3 кв.ед.
Виконане в цих двох прикладах безпосереднє обчислення визначених інтегралів як меж інтегральних сум
і
виявилося можливим тільки завдяки простій структурі операції підсумовування, та й то воно зажадало проведення складних підрахунків. Треба відзначити, що такі прийоми обчислення (тут застосований спосіб Архімеда) існували до появи поняття інтеграла.
Тому природним розвитком поняття певного інтеграла є вибір доцільного способу його обчислення. Такий спосіб, виявляється, дає операція інтегрування зважаючи на наявність зв'язку між певним інтегралом і інтегралом невизначеним.
Зв'язок між визначеним і невизначеним інтегралами. Формула Ньютона-Лейбніца
Розглянемо криволінійну трапецію (рис. 2), у якої права гранична прямо не зафіксована. Площа цієї трапеції вимірюється змінною величиною, залежною від положення її правої межі х. Нехай це буде деяка функція О¦ (х). Тоді справедлива наступна теорема. br/>В
Рис. 2
Теорема. Функція О¦ (х), що виражає площа змінної криволінійної трапеції (з рухомий правою стороною), є первісною для функції y = f (х), графіком якої є крива, що обмежує цю ж трапецію зверху.
За змістом визначення первообразной запис
О¦ (х) = ∫ f (х) dx
буде виправдана, якщо ми доведемо, що
О¦ '(х) = f (х).
Доказ. Дамо початкового значення х прирощення О”х. Тоді функція, що виражає площа криволінійної трапеції, одержить збільшення
О”О¦ (х) = Пл. Хмм 1 х 1 ,.
Це прирощення площі (рис. 2) більше площі прямокутника хМNх 1 , рівної f (х) О”х, і менше площі прямокутника xN 1 M 1 x 1 , рівної
f (х + О”х) О”х, тобто f (х) О”х <О”О¦ (х)
Розподіл всіх членів нерівностей на О”х> 0 дає
f (х) <
Якщо тепер ввести умову О”х в†’ 0, то в силу безперервності функції
у = f (х)
Таким чином, ставлення укладено між двома змінними, мають загальний межа при О”х в†’ 0. Але з цього випливає,
що,
тобто О¦ '(х) = f (х). p> Цим доведено, що функція О¦ (х), що виражає площу криволінійної трапеції, є первісною для f (х).
Вираз цієї функції можливо в двоякою формі.
Виходячи з того, що розглянута раніше задача про площі криволінійної трапеції (з фіксованими межами) отримує свій дозвіл за допомогою певного інтеграла, можна записати
пл. aABb =
Разом з тим ця ж площа може бути виражена як приватне значення функції О¦ (х) при x = b, і тоді
О¦ (b) = (1)
Аналогічно площа криволінійної трапеції (рис. 2) з мінливою правою кордоном х виражається у вигляді
О¦ (х) = (2)
Цей інтеграл виявляється функцією від верхньої межі.
З іншого боку, якщо О¦ (х), що виражає площа aAMx, є первісною для функції f (х), то можна уявити її у вигляді О¦ (х) = F (х) + C, де F (х) - деяка первісна для тієї ж функції.
Прирівнюючи перші частини рівностей (1) і (2), отримуємо
= F (х) + C.
Для визначення постійної З використовуємо те, що при х = а трапеція перетворюється на відрізок, і її площа виявляється рівною нулю, тобто
О¦ (а) = F (а) + C = 0,
а звідси С = - F (а) і, отже,
О¦ (х) == F (х) - F (а).
Даючи аргументу х значення фіксованого верхньої межі, тобто при x = b, ми одержуємо вираження певного інтеграла через значення первообразной у вигляді такої формули:
В
Це - формула Ньютона-Лейбніца. Вона пов'язує певний інтеграл з невизначеним. p> Для обчислення визначеного інтеграла ця формула зазвичай записується у вигляді
В
