ому випадку піднімаючись, а в другому спускаючись, здійснюємо перетворення коефіцієнтів за такими формулами:
ла) a k-1 = a k-2 - a k
б) a k = 2a k
В результаті отримуємо коефіцієнти полінома P n (x)
Перетворення коефіцієнтів полінома P n (x) в коефіцієнти полінома T n (x)
Вводимо коефіцієнти полінома P n (x) - а i.
Для j = n, n - 1, ..., 2 і k = j, j +1, ..., n у першому випадку спускаючись, а в другому піднімаючись, проводимо перетворення коефіцієнтів за такими формулами:
а) a k = a k/2
б) a k-2 = a k-2 + a k
с) a 0 = 2 a 0
В результаті отримуємо коефіцієнти полінома Т n (x). Цікаво було б дізнатися, яку помилку ми отримуємо при розкладанні статечної функції за поліномами Чебишева. Для цього, використовуючи вище описані алгоритми, ми спочатку представляємо функцію y = xn (де n беремо від 1 до 10) через поліноми Чебишева (T n), а потім, щоб оцінити помилку, чебишовських розкладання знову перетворюємо на многочлен. Виконавши ці операції, ми отримуємо дуже незвичайні результати. Для непарних n помилка настільки мала, що її ледве можна розрізнити на графіках. Для парних ж ступенів ми можемо спостерігати зсув графіка, отриманого в результаті перетворення, вниз щодо оригіналу. Це можна пояснити наступним чином. За зміщення графіка несе відповідальність коефіцієнт перед x 0. Згадаймо алгоритми, вони побудовані так, що кожен попередній коефіцієнт обчислюється через наступний. В результаті накопичується помилка обчислення найбільше впливає на коефіцієнт при x 0. Наслідком цього є зміщення графіків парних ступенів, оскільки в їх розкладанні присутній цей коефіцієнт. Можна відзначити також, що зміщення при розкладанні функції y = x 2 більше, ніж при розкладанні функції y = x 10. Цей теж можна легко пояснити, тому що при збільшенні ступеня внесок T 0 в розкладанні статечної функції значно зменшується. Що ж буде, якщо торкнутися непарних ступенів. Тоді ми отримаємо таке хороший збіг, так як парні коефіцієнти в розкладанні непарних ступенів рівні 0, а коефіцієнти при всіх ступенях x, крім нульовий, впливають тільки на відхилення гілок. Підтвердженням цього служать графіки
Наступним етапом роботи було наближення поліномами Чебишева довільної функції. В якості початкової функції ми взяли функцію y = sin (4 x/3). Використовувана в роботі програма мала нижченаведений алгоритм:
Наближення функції f (x) за Чебишеву
Задаємо ступінь n многочлена T n (x) і межі [a; b] зміни аргументу функції f (x)
Для i = 0, 1, ..., n на відрізку [-1; 1] формуємо сітку оптимальних значень аргументу у вузлах чебишовської інтерполяції:
Переводимо у відрізок [a; b]: і обчислюємо f (xi)
Для k = 0, 1, ..., n і i = 0, 1, ..., n обчислюємо:
В результаті отримуємо коефіцієнти a 0, a 1, ..., an многочлена T (), що наближає функцію f (x)
Обчислення значень T (x) виконується за таким алгоритмом:
Вважаючи заданих масив ak, необхідно задати пам'ять під масив з n +2 допоміжних коефіцієнтів b k. Вважаємо b n +2 = 0, b n +1 = 0
Задаємо значення x на [a; b] і переводимо їх у відрізок [-1; 1] за допомогою перетворень:
Для k = n, n - 1, ..., 1 обчислюємо bk = ak - bk +2 +2 xb k +1
Знаходимо T () = a 0/2 - b 2 + xb 1
Також у програмі було використано розкладання в ряд Тейлора для порівняння з розкладанням за поліномами Чебишева. Насамперед, було розглянуто наближення на інтервалі [-1; 1]. Наклавши на графік sin (4 x/3) графік його наближення поліномами Чебишева і графік, побудований за допомогою розкладу в ряд Тейлора, отримуємо дуже точний збіг. Візуально неможливо розрізнити три кривих. Розглядаємо графік помилок. У відповідності з теорією помилка Чебишева знакозмінними і розподілена більш-менш рівномірно по всьому інтервалу. Помилка ж Тейлора невелика близько 0 і сильно збільшується при наближенні до 1 (зауважимо, що в цьому і в інших випадках ряд Тейлора містить ті ж міри x, але з іншими коефіцієнтами). Найбільш цікаво розглянути наближення на довших інтервалах. На інтервалі [-1; 1] наближення поліномами Чебишева сьомого ступеня досить гарна, але вже на інтервалі [-10; 10] наближення цієї ж ступенем дуже погане. Розглянемо наближення на цьому ж інтервалі поліномом більш високого ступеня (T 11). Отримаємо достатньо непогане наближення, причому на графіку дуже чітко видно, що помилка розподілена рівномірно. Тут знову хочеться порівняти з розкладанням в ряд Тейлора. Якщо подивитися на графіки, ми побачимо, що наближення за допомогою рядів Тейлора дуже хороше в середині інтервалу, але має сильне відхилення від еталону на кінцях. Порівняємо помилки чебишовського наближення та наближення за допомогою рядів Тейлора. При такому порівнянні ясно виявляються властивості поліномів Чебишева - максимальна помилка менше, ніж при використанні ряду Тейлора
У підсумку, ми отримали, що на великому інтервалі хо...
