вняння 1-го порядку, дозволене відносно похідної, називається рівнянням, записаним в нормальній формі:
Рівняння першого порядку часто записують у диференціальної формі: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
Рішення такого рівняння можна шукати як у вигляді y = y (x), так і у вигляді x = x (y).
.4 Рівняння з відокремлюваними змінними
Рівнянням із перемінними називається диференціальне рівняння виду з безперервними функціями і
Рівність де С - довільна постійна визначає загальний інтеграл рівняння з розділеними змінними.
Початкова умова для рівняння можна задавати у вигляді або у вигляді.
Рівнянням з розділяють змінними називається рівняння виду
Функції,,, неперервні в своїх областях визначення і 0
Розділивши обидві частини рівняння на відмінне від нуля твір одержимо рівняння із перемінними
.
Загальний інтеграл цього рівняння має вигляд:
В
1.5 Однорідні рівняння I порядку
Однорідним рівнянням першого порядку називається рівняння виду.
Заміною z = y/x це рівняння зводиться до рівняння із перемінними щодо функції z = z (x)
В
1.6 Рівняння, що зводяться до однорідного
Рівнянням, приводиться до однорідного, називається диференціальне рівняння виду.
Заміною це рівняння приводиться до однорідного рівняння.
Тут - це єдине рішення лінійної системи
В
.7 Лінійні рівняння I порядку
Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду.
Тут - відомі, безперервні на [a; b] функції.
Доведено, що якщо функції безупинні на [a; b], то для будь-якої початкової точки [a; b], задача Коші
В
Має єдине рішення y = y (x) на [a; b].
Розглядають однорідні і неоднорідні лінійні рівняння першого порядку:,.
Загальне рішення лінійного рівняння 1-го порядку можна знайти за допомогою заміни y (x) =
.8 Рівняння Бернуллі
Рівнянням Бернуллі називається рівняння першого порядку виду.
Тут - відомі, безперервні на [a; b] функції, n> 1.
Заміною z (x) = рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння щодо функції z (x):
,
,,
В
.
Отримуємо лінійне щодо z (x) рівняння:
В
1.9 Рівняння в повних диференціалах
Рівняння називається рівнянням в повних диференціалах, якщо вираз в лівій частині рівняння є диференціалом деякої функції двох змінних F (x, y), тобто якщо
Тоді F (x, y) = C - загальний інтеграл рівняння. Тут C - довільна похідна. p> Рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тоді і тільки тоді, коли
.10 Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші
Розглянемо звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку, записане в нормальній формі:
Областю визначення рівняння називається область D визначення правої частини рівняння
Функція y = y (x) є рішенням задачі Коші:
якщо y (x) = y дифференцируема на [a, b], (x, y (x)) для всіх x з [a, b], і при підстановці в рівняння звертає його в тотожність:
Фундаментальним результатом теорії звичайних диференціальних рівнянь є теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші:
Нехай функція і її приватна похідна неперервні в деякій області D площини і точка належать області D. Тоді:
В деякій околиці точки існує рішення задачі Коші
Якщо і два рішення задачі Коші, то на
Геометрично це означає, що якщо умови теореми виконані, то через кожну точку області D проходить єдина інтегральна крива рівняння.
Нескінченна безліч рішень рівняння: можна розглядати як однопараметричне сімейство функцій - сімейство рішень задач Коші. br/>В
елементи якого різні для різних значень. Іншими словами область D В«розшаровуєтьсяВ» на інтегральні криві
Важливо розуміти, що результат теореми має локальний характер - існування та єдиність розв'язку гарантовані, взагалі кажучи, тільки в малій околиці. Важливо також розуміти, що умови теореми існування та єдиності достатні умови. Порушення умов теореми не означає, що рішення задачі не існує або, що воно не єдине. br/>
Список літератури
Кузнєцов Л.С. Збірник завдань з вищої математики. СПб: Лань, 2005
Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення для вузів. Том 1. М: Наука, 1978
1.
