жна визначити за допомогою функцій форм і значень температури в вузлових точках
. (6)
Функціонал (4) можна представити у вигляді суми функціоналів, кожен з яких відображає внесок у функціонал (4) елемента з номером e
. (7)
Мінімум функціонала (4) знаходимо з умови
(8)
Функціонал можна представити у вигляді
(9)
Тут, глобальний вектор температур, - матриця градієнтів, яка для функцій форми (5) прийме вигляд,В . Локальний вектор температур. Тут матриця геометричних зв'язків має розмірність. Елементи цієї матриці визначаються наступним чином:; всі інші елементи дорівнюють нулю.
Продиференціюємо функціонал (9):
З виразу (8) з урахуванням останнього співвідношення отримуємо, де матриця теплопровідності елемента; вектор навантаження елемента.
У силу особливостей проведеної тріангуляції можна виділити три групи кінцевих елементів. У першу входять трикутники, у яких сторона i - j належить одній з зовнішніх кордонів. У другу - ті, у яких та ж сторона належить одній з внутрішніх кордонів. І, нарешті, третю групу складають елементи, сторони яких лежать всередині розглянутій області.
Залежно від того, до якої групи належить кінцевий елемент з номером e , матриця і вектор визначатимуться кілька різним чином.
Позначимо
.
Поверхневі інтеграли можна порахувати за допомогою відносних координат. Відрізки, що з'єднують будь-яку фіксовану точку P трикутника e c його вершинами, розбивають цей елемент на три трикутні частини площею. Координати визначаються з співвідношень. p> Використовуючи відносні координати, можна отримати такі співвідношення:
В В В
Якщо кінцевий елемент з номером e належить до першої групи, то. Якщо ко другий, то. Нарешті, якщо елемент належить до третьої групи, то. p> Вектор температур, задовольняє умові (8) мінімуму функціоналу (4), знаходимо рішенням системи лінійних алгебраїчних рівнянь
, (10)
де глобальна матриця теплопровідності K і глобальний вектор навантаження F визначаються за формулами
,. (11)
Для вирішення завдання (10) застосовувався наступний алгоритм:
В· ОбчисленняВ розкладання матриці ().
В· Оцінка числа обумовленості. Якщо число обумовленості більше (визначається точністю обчислювальної машини), то видається попередження, так як малі відхилення в коефіцієнтах матриці можуть привести до великих відхилень у рішенні.
В·В . . p> Реалізація описаного вище методу проводилася на мові програмування С + + і FORTRAN в середовищі інтегрованої середовищі розробки Microsoft Visual C + + 6.0. Кінцеві результати даної роботи наведені на рис.4 - 7. table>В
Рис. 4
В
Рис.5
В
Рис.6
