збігається з однією з ординат смужки, скажімо з крайньої зліва. Таким чином, криволінійна фігура заміниться деякої ступінчастою фігурою, складеної з окремих прямокутників.
Позначимо абсциси точок розподілу через
X = a
Підстава i - го прямокутника дорівнює різниці X - X (О”X). Висота дорівнює y = f (X). Тому площа i - го прямокутника буде y О”X = f (X) О”X.
Підсумувавши площі всіх прямокутників, отримаємо наближене значення площі P криволінійної трапеції
P = y О”X або P = f (X) О”X.
Похибка цієї рівності при безмежному убуванні всіх О”X прагне до нуля. Точне значення площі P вийде як межа:
P = Lim y О”X або P = Lim f (X) О”X,
У припущенні, що всі О”X одночасно прагнуть до 0. p> Для позначення граничного значення суми y О”X Лейбніц і ввів символ ∫ ydx , де ydx нагадує типове доданок суми, а ∫ є стилізована літера S - початкова буква латинського слова "Summa". Так як площа, що представляє це граничне значення, в Водночас є первісною для функції у, то той же символ зберігся і для позначення первісної функції. Згодом, з введенням функціонального позначення, стали писати
∫ f (x) dx,
якщо мова йде про змінної площі, і
f ( x ) dx ,
- в разі площі фіксованою фігури ABCD , відповідає зміні х від а до b .
Визначення. Нехай функція f (X) задана в деякому проміжку [A, b]. Розіб'ємо цей проміжок довільним чином на частини, вставивши між a і b точки поділу. Найбільшу з різниць О”X = X - X (i = 0, 1,2, ..., n-1) позначимо через О».
Візьмемо в кожному з часткових проміжків [X, X] в сваволі точку X = Оѕ
X ≤ ξ ≤ X (i = 0, 1, ..., n-1)
і складемо суму
Пѓ = f ( Оѕ ) О”X
Нехай I кінцевий межа даної суми
I = Пѓ.
Кінцевий межа I суми Пѓ при називається визначеним інтегралом функції f (x) у проміжку від a до b і позначається символом
I = f ( x ) dx
У случе існування такої межі функція f (x) називається интегрируемой в проміжку [a, b].
Числа a і b носять назву, відповідно, нижнього і верхнього меж інтеграла. При постійних межах визначений інтеграл являє собою постійне число.
Наведене визначення належить Ріманом (B.Riemann), коор вперше висловив його в загальній формі і досліджував область його застосування. [7]
1. Історична довідка
Інтеграл (Від лат. Integer - цілий) - одне з найважливіших понять математики, що виникло в зв'язку з потребою, з одного боку відшукувати функції по їх похідним (Наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений рухомої точкою, по швидкості цієї точки), а з іншого - вимірюв...
