ситуацію інтуїтивно ясною, тоді як пізніше ми будемо змушені жертвувати наочністю заради точності. У роботі розглядається основна завдання геометрії чисел, наводиться теорема Мінковського з її доказом, і пояснюються такі поняття геометрії чисел як грати і критичні грати. У Наприкінці роботи наводиться так звана В«неоднорідна завданняВ» геометрії чисел.
Основна завдання геометрії чисел.
Основний і типовою завданням геометрії чисел є така задача.
Нехай f (х 1 , ..., x n ) - функція речових аргументів, приймаюча речові значення. Як малий може бути ГЇf (u 1 , ..., u n ) ГЇ при відповідному виборі цілих чисел u 1 , ..., u n ? Може зустрітися тривіальний випадок f (0, ..., 0) = 0, наприклад, якщо f (х 1 , ..., x n ) є однорідною формою; в цьому випадку сукупність значень u 1 = u 2 = ... = U n = 0 з розгляду виключається ("однорідна проблема"). p> Зазвичай розглядаються оцінки, застосовні не тільки для конкретних функцій f, але і для цілих класів функцій. Так, типовим результатом такого роду є наступна пропозиція. Нехай
f (x 1 , x 2 ) = a 11 x 1 2 + 2a 12 x 1 x2 + A 22 x 2 2 (1)
- позитивно певна квадратична форма. Тоді знайдуться такі цілі числа u 1 , u 2 , що не рівні одночасно нулю, що справедливо нерівність
f (u 1 , u 2 ) ВЈ (4D/3) 1/2 (2)
де D = a 11 a 22 - a 12 2 - визначник форми. Ясно, що якщо цей результат вірний, то він є найкращим. Дійсно,
u 1 2 + u 1 u 2 + u 2 < sup> 2 Ві 1
для всіх пар цілих чисел u 1 , u 2 , що не рівних одночасно нулю; тут D = 3/4.
Звичайно, випадок позитивно певних бінарних квадратичних форм вкрай простий, і результат завдання був відомий задовго до виникнення геометрії чисел. Однак на позитивно певних бінарних квадратичних формах відносно просто проводяться деякі міркування геометрії чисел, так що ці форми зручно використовувати в якості ілюстрації всіх міркувань.
Щойно сформульований результат можна виразити наочно. Нерівність типу
f (x 1 , x 2 ) ВЈ k,
де f (x 1 , x 2 ) - форма (1), а k - деяке позитивне число, задає область Г‚ площині {x 1 , x 2 } , обмежену еліпсом. Таким чином, наша пропозиція стверджує, що якщо k Ві (4D/3) 1/2 , то область Г‚ містить точку (u 1 , u 2 ) з цілими координатами u 1 і u 2 , що не рівними одноча...
