ідний ряд, що суперечить нашому умові. Отже ряд (3.2) також розходиться. p> Цей ознака зручно застосовувати до визначення збіжності рядів, порівнюючи їх з рядами, збіжність яких вже відома.
Приклад 3.1. Дослідити на збіжність ряд
В
Члени ряду позитивні і менше відповідних членів сходиться ряду геометричній прогресії
т. к., n = 1,2, ... br/>
Отже, за ознакою порівняння вихідний ряд також сходиться.
Приклад 3.2. Досліджувати на збіжність ряд
В
Члени даного ряду є позитивними і більше відповідних членів розбіжного гармонійного ряду
т. к.
В
Отже, за ознакою порівняння вихідний ряд розходиться.
В
Теорема 3.2. (Граничний ознака Даламбера [*] ).
Нехай члени позитивного ряду (1.1) такі, що існує межа
В В
Тоді: 1) при q <1 ряд (1.1) сходиться;
2) при q > 1 ряд (1.1) розходиться;
3) при q = 1 про збіжності ряду (1.1) нічого сказати не можна, необхідні додаткові дослідження.
Зауваження : Ряд (1.1) буде розходитися і в тому випадку, коли
В
Приклад 3.3. Дослідити на збіжність ряд
.
Застосуємо граничний ознака Даламбера.
У нашому випадку.
Тоді br/>
Отже, вихідний ряд сходиться.
Приклад 3.4. Дослідити на збіжність ряд
В
Застосуємо граничний ознака Даламбера:
В В
Отже, вихідний ряд сходиться.
Приклад 3.5. Дослідити на збіжність ряд
В
Застосуємо граничний ознака Даламбера:
В В
Отже, вихідний ряд розходиться.
В
Зауваження . Застосування граничного ознаки Даламбера до гармонійному ряду не дає відповіді про збіжність цього ряду, т. к. для цього ряду
В
Теорема 3.3 . (Граничний ознака Коші * ).
В
Нехай члени позитивного ряду (1.1) такі, що існує межа
В В
Тоді: 1) при q <1 ряд (1.1) сходиться;
2) при q > 1 ряд (1.1) розходиться;
3) при q = 1 про збіжності ряду (1.1) нічого сказати не можна, необхідні додаткові дослідження.
В
Приклад 3.6. Досліджувати на збіжність ряд
В
Застосуємо граничний ознака Коші:
В
Отже, вихідний ряд сходиться.
Теорема 3.4 . (Інтегральний ознака Коші).
Нехай функція f ( x ) безперервна неотрицательная незростаюча функція на проміжку
Тоді ряд і невласний інтеграл сходяться чи розходяться одночасно .
Приклад 3.7. Дослідити на збіжність гармонійний ряд
В
Застосуємо інтегральний ознака Коші.
У нашому випадку функція задовольняє умові теореми 3.4. Досліджуємо на збіжність невласний інтеграл
Маємо . br/>
Невласний інтеграл розходиться, отже, вихідний гармонійний ряд розходиться також.
Приклад 3.8. Дослідити на збіжність узагальнений гармонічний ряд
В
Функція задовольняє умові теореми 3.4.
Досліджуємо на збіжність невласний інтеграл
Розглянемо такі випадки:
1) нехай Тоді узагальнений гармонічний ряд є гармонійний ряд, який розходиться, як показано в прикладі 3.7.
2) нехай Тоді
В
Невласний інтеграл розходиться, і, отже, ряд розходиться;
3) нехай Тоді
В
Невласний інтеграл сходиться, і, отже, ряд сходиться.
Остаточно маємо
В
Зауваження . 1. Узагальнений гармонійний ряд буде розходитися при, тому що в цьому випадку не виконується необхідна ознака збіжності: загальний член ряду не прагне до нуля.
2. Узагальнений гармонійний ряд зручно використовувати при застосуванні ознаки порівняння .
Приклад 3.9. Дослідити на збіжність ряд
В
Члени ряду позитивні і менше відповідних членів сходящегося узагальненого гармонійного ряду
В
т. к. і параметр
Отже, вихідний ряд сходиться (за ознакою порівняння).
Перейдемо до розгляду рядів, члени яких можуть бути як позитивними, так і негативними.
4. Знакозмінні ряди. Ознака збіжності Лейбніца
Визначення 4.1. Знакозмінні поруч називається ряд, у якого будь-які поруч стоять члени мають протилежні знаки.
Такі ряди зручніше записувати у вигляді
(4.1)
або у вигляді
, (4.2)
де p> Для визн...
